功的計算公式W＝ Flcosα隻能用于恒力做功情況，對于變力做功，不能用W＝Flcosα來計算功的大小.

一、将變力做功轉化為恒力功

求某個過程中的變力做功，可以通過等效法把求該變力做功轉換成求與該變力做功相同的恒力的功，此時可用W＝ Flcosα求功.等效轉換的關鍵是分析清楚該變力做的功到底與哪個恒力的功是相同的

例：人在A點拉着繩通過一定滑輪吊起質量m＝50kg的物體，如圖所示，

開始繩與水平方向夾角為60°，當人勻速提起重物由A點沿水平方向運動s＝2m而到達B點，此時繩與水平方向成30°角，求人對繩的拉力做了多少功？

解析:人對繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時刻在變，而已知位移x方向一直是水平的，所以無法利用W＝ Flcosα直接求拉力的功.若轉換一下研究對象則不難發現，人對繩的拉力的功與繩對物體的拉力的功是相同的，而繩對物體的拉力是恒力.設滑輪距地面的高度為h，則h（cot30°-cot60°）＝s

人由A走到B的過程中，重物上升的高度△h等于滑輪右側繩子增加的長度，即:

△h＝h/sin30°-h/sin60°

人對繩子做的功為:

＝mg·△h＝1000（√3-1）J≈732J

二、平均力法

當力的方向不變，大小随位移按線性規律變化時，可先求出力對位移的平均值F＝

（F₁＋F₂）/2，再由W＝Flcosα計算功，如彈簧彈力做的功.

需要注意的是，若該力的大小随時間按線性規律變化，則不能通過求變力F對時間平均值來計算功.

例：用鐵錘将一鐵釘擊入木塊，設木塊對鐵釘的阻力與鐵釘進入木塊内的深度成正比。在鐵錘擊第一次時，能把鐵釘擊入木塊内1cm。問擊第二次時，能擊入多少深度？（設鐵錘每次做功相等）

【解析】考查對變力做功的計算及理論聯系實際抽象建立模型的能力。

方法:平均力法

三、圖像法

在v-t圖象中圖線與t軸所圍圖形的面積表示位移，由此我們得出，在F-l圖象中圖線與l軸所圍圖形的面積表示力F所做的功，如圖甲所示，在軸上方的面積表示力對物體做正功，在軸下方的面積表示力對物體做負功.如果F-l圖象是一條曲線，表示力的大小随位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，折線下方每個小矩形面積分别表示相應恒力做的功.如圖乙所示，當梯形折線分得越來越密時，這些矩形的總面積越趨近于曲線下方總面積，可見，曲線與坐标軸所圍面積在數值上等于變力所做的功在圖丙中軸上方的面積表示力對物體做正功的多少，l軸下方的面積表示力對物體做負功的多少，力對物體做的總功是l軸上方面積與l軸下方面積之差.

例：如圖甲所示，放在水平地面上的木塊與一輕彈簧相連.現用手水平拉彈簧，拉力F與力作用點的位移s的函數關系如圖乙所示，木塊開始運動後，繼續拉彈簧，木塊緩慢移動了0.8m的位移，則上述過程中拉力所做的功為（）

A.16J B.20J C.24J D.無法确定

例：彈簧彈力做功推導

彈簧彈力做功做功表達式：W=kl²/2.l相對于彈簧原廠長.

例：

注：也可以用平均力法.

四、微元法

将運動過程無限分割，每一小段就可看成恒力做功，然後把各小段恒力做的功求出來，再求出代數和，即為全過程該變力所做的功，這種處理問題的方法具有普遍的适用性，但在高中階段該方法主要用于處理大小不變、方向與運動方向始終相同或相反的變力做功的問題，如滑動摩擦力、空氣阻力做功就屬此種類型，不難得出，這種情況下，力對物體做功的絕對值等于力與物體運動路程的乘積.

例：解放前後，機械化生産水平較低，人們經常通過“驢拉磨”的方式把糧食顆粒加工成粗面來食用，如圖所示，

假設驢拉磨的平均用力大小為500N，運動的半徑為1m，則驢拉磨轉動一周所做的功為（）

A.0 B.500J C.500πJ D.1000πJ

例：如圖所示，質量為40kg的物體在一個水平外力作用下，沿直徑為40m的水平圓形軌道勻速運動一周.若物體與軌道間的動摩擦因數為0.5，求水平外力在此過程中做的功.（g取10m/s²）

例：如圖所示，擺球質量為m，懸線長度為L，把懸線拉到水平位置後放手.設在擺球從A點運動到B點的過程中空氣阻力的大小F不變，則下列說法正确的是（ABD）

A.重力做功為mgL

B.懸線的拉力做功為0

C.空氣阻力做功為-mgL

D.空氣阻力做功為-FπL/2

五、轉換研究對象法

例：如圖所示，人以恒力拉繩，使小車向左運動，求拉力對小車所做的功拉力對小車來說是個變力（大小不變，方向改變），但仔細研，發現人拉繩的力卻是恒力，于是轉點換研究對象，用人拉繩的力所做的功來求繩子拉力對小車做的功.

能量守恒，力對繩子做功，繩子又對物體做功，而繩子是輕繩，本身不儲存能量，所以力做的功全部轉化為物快的機械能，所以可以等量計算。

六、分段法

例：力在全程是變力，但在每一個階段是恒力，這樣就可以先計算每個階段的功，再利用求和的方法計算整個過程中變力做的功.

如圖所示，

一個質量為m＝2kg的物體靜止在水平地面上，物體與地面間的動摩擦因數μ＝0.5。現對物體施加一個大小F＝10N、與水平方向成θ＝37°斜向上的拉力，物體向前運動了距離s＝2m後，再将拉力撤去，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），求:

（1）撤去外力的瞬間，物體速度的大小v；

（2）物體在運動的整個過程中，拉力F對物體做的功WF和阻力Ff對物體做的功Wf.

七、動能定理法

力在全程是變力，但在每一個階段是恒力，這樣就可以先計算每個階段的功，再利用求和的方法計算整個過程中變力做的功.

例：如圖所示，

原來質量為m的小球用長L的細線懸挂而靜止在豎直位置，用水平拉力F将小球緩慢地拉到細線與豎直方向成θ角的位置的過程中，拉力F做功為（）

A. FLcosθ

B. FLsinθ

C. FL（1-cosθ）

D. mgL（1-cosθ）

注：此題要區别用恒力F拉動.

八、應用功能關系

做功是能量轉化的原因，功是能量轉化的量度，我們可以根據能量轉化的情況來判斷做功的情況，則給求變力做功提供了一條簡便的途徑.關鍵是分清研究過程中有多少種形式的能轉化，即有什麼能增加或減少，有多少個力做了功，列出這些量之間的關系式.

1、合外力做的功等于物體動能的變化。（重力也是外力，因為它是地球施與物體的，也來自于物體之外）

2、除重力、彈力以外的外力做的功等于物體機械能的變化。（機械能的變化有三部分組成:動能的變化，重力勢能的變化、彈性勢能的變化）

3、重力做功等于重力勢能的減少（重力做正功，重力勢能減少）

4、彈力做功等于彈性勢能的減少（彈力做正功，彈性勢能減少）

5、電場力做功等于電勢能的減少（電場力做正功，電勢能減少）

6、安培力做功等于電磁感應中産生的電能。

7、分子力做功等于分子勢能的減少（分子力做正功，分子勢能減少）

九、運用W＝Pt求變力功，功率求解法

涉及到機車的啟動、吊車吊物體等問題，如果在某個過程中保持功率P恒定，随着機車或物體速度的改變，牽引力也改變，該過程中牽引力的功，可以通過W＝Pt或者P-t圖面積來求.

例：質量為5000kg的汽車，在平直公路上以60.kw的恒定功率從靜止開始啟動，速度達到24m/s的最大速度後，立即關閉發動機，汽車從啟動到最後停下通過的總位移為1200m.運動過程中汽車所受的阻力不變.求汽車運動的時間.

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