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每行元素和為4為什麼特征值為4

知識 更新时间:2025-03-14 21:16:11

  因為A乘列向量(1,1,1,1)^T時,相當于把A的各行加起來構成一個列向量,利用根與系數的關系可得。假設我們想要計算給定矩陣的特征值。若矩陣很小,可以用特征多項式進行符号演算。但是,對于大型矩陣這通常是不可行的,在這種情況我們必須采用數值方法。

  描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項式,λ是A的特征值等價于線性方程組(A–λI)v=0(其中I是單位矩陣)有非零解v(一個特征向量),因此等價于行列式|A–λI|=0[1]。

  函數p(λ)=det(A–λI)是λ的多項式,因為行列式定義為一些乘積的和,這就是A的特征多項式。矩陣的特征值也就是其特征多項式的零點。

  一個矩陣A的特征值可以通過求解方程pA(λ)=0來得到。若A是一個n×n矩陣,則pA為n次多項式,因而A最多有n個特征值。反過來,代數基本定理說這個方程剛好有n個根,如果重根也計算在内的話。

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