把數學題變成

一頓飯

今天小天又雙叒叕給超模君分享了一道題目。

上次超模君就是因為“求陰影面積”，被小天這個家夥套路了一頓飯。

這次超模君一定會汲取教訓，決定把這頓飯給赢回來的！

如上圖所示，現有各棱長均為 a 的一個正三棱錐和一個正四棱錐，當将它們的一個側面完全重合地粘貼在一起後，新形成的幾何體有幾個外露面？

這不是超模君最愛的空間幾何嗎？看來這頓飯是十拿九穩了。

作為一個優秀的數學系畢業生，超模君一眼就看出來這道題并非是“4 5-2=7”那麼簡單了。

小天肯定以為我會回答 7 個面，殊不知超模君早已看穿一切，并且還想到了最便捷的解題方法。

首先，這兩個椎體粘貼在一起後，粘合處的兩個面變成了非外露面，所以我們初步判定：新的幾何體最多 7 個外露面（4 5-2=7）。

緊接着就是這道題的關鍵所在了，“面AEF”和“面ABE”這兩個面，超模君越看越不對勁。

于是超模君腦海裡就出現了這一幕：

把兩個正四棱錐并排放在一個水平面上，底邊 B'D' 與 底邊 AC 重合；

我們會發現兩個錐體頂點距離 EE' 也等于邊長 a ；

而兩個正四棱錐中間的那個幾何體 ACEE' 就正好是一個邊長為 a 的正三棱錐；

此時，就可輕易地看出 面AEE' 和 面ABE 是共面關系了；

同理，面CDE 和面CEE' 也是共面的。

所以，最終結果是：新構成的幾何體一共有5個外露面（4 5-2-2=5）。

于是，超模君拿着答案就找小天“要飯”去了。

可誰知道小天一臉壞笑：十八線網紅呀，你又做錯啦~

超模君看着屏幕裡原題的答案：“4 5-2=7”。

怎麼回事？

這是其中到底是哪個環節出了問題？

超模君的專業性居然受到了空前的質疑，看來今天必須要證明自己了。

果然，經過超模君的一番考究後，發現原來這是一道“曆史難題”，這道題的出處最早可以追溯到1980年。

當年美國舉辦的“全美初級數學能力測試”中就首次出現了這道題目，而且參加這場測試的是數以百萬計的高中生。

美國有個“全美優秀學生獎學金計劃”，就是從“學術能力測驗”中選拔出15000名學生，然後再從中篩選出4700個名額，每年頒發250~2000美金的獎學金；

而“初等學術能力測驗”就是“學術能力測驗”的預考。

當時考試主辦方給出的标準答案是：“7個面”，而且大部分考生寫的答案也是“7個面”。

但是，有個叫丹尼爾·洛文的17歲小夥卻寫了“5個面”，并且認為自己的答案才是對的，而“标準答案”和絕大多數人都錯了。

為了求證此事，丹尼爾把想法分享給了父親（丹尼爾的父親是一名傑出的工程師）。

在經過多次驗證後，父親也認同了丹尼爾的答案。與此同時，丹尼爾還用橡皮泥制作了模型驗證、演示給老師們看，并将事情反饋給了主辦方。

丹尼爾成為了多年以來第一個質疑主辦方的高中生。

真理是不可磨滅的，幾經周折後，主辦方最終還是承認了丹尼爾的答案才是正确的。

事實上，當年那場考試有大約24萬人給出的答案是“5個面”，因為丹尼爾這一鬧，最後主辦方都幫寫“五個面”的考生加了分，但由于人員基數過大，寫“7個面”的幾十萬考生們也沒有被糾錯、扣分。

也許就是因為當年主辦方的“心慈手軟”，導緻“7個面”的答案如今還在流傳。

所以，為了守護數學的嚴謹性，超模君打算用數學方法正式解答一遍，也好讓小天輸得心服口服。

為了計算方便，不妨設邊長 a=2。

取 AE 的中點 G，分别連接 G 與 F、C、B 三個點；

顯然 FG⊥AE，CG⊥AE，BG⊥AE；

所以，GF=GC=GB=√3，FC=2，BC=2√2；

再利用餘弦定理（a² = b² c² - 2bccosα）；

求得，cos(∠FGC)=1/3，cos(∠CGB)=-1/3；

所以，CG⊥GF，CG⊥GB（兩個都為直角）；

顯然，FAEB四點共面；

同理得，CDEF四點也是共面的。

終上所述，這道題的正确答案是：新形成的幾何體共有 5 個外露面。

超模君看着小天：吃飯的地方，你挑還是我選？

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