同學們，你們見過x y=100這樣的方程嗎？像這樣未知數的個數比方程的個數多的方程就叫作不定方程。之所以叫作不定方程，是因為它們的解不确定、不唯一。一般情況下，如果不加限制，不定方程的解有無數個；如果加以限制，它隻能有有限個解或無解。解這一類方程時，一定要仔細尋找題中對x、y的限制條件，利用這個條件逐步縮小x、y的範圍，直到最後求出方程的解。

精講1：求不定方程2x 3y=18的自然數的解。（0除外）

分析：所謂“自然數解”，就是要使方程的解為自然數，這道題有兩個未知數，我們可以采用嘗試法，假設當x=1時，y無解；當x=2時，y無解······如果我們将方程适當變形，把其中一個未知數用另一個未知數表示出來，即将方程變形為：y=（18－2x）÷3，我們就可以推斷等式右邊的被除數“（18－2x）”必須是3的倍數，而且它不能為0，這樣就可以相對方便地找出結果。

所以x=3，y=4或x=6，y=2。

​精講2：超市有甲、乙兩種手套出售，甲種手套每副16元，乙種手套每副10元，某天這兩種手套的銷售額一共是200元，你知道這個超市該天兩種手套各賣多少副嗎？

分析：這道題甲種手套和乙種手套賣出多少副都不知道，我們可以考慮分别設甲種手套賣出x副，乙種手套賣出y副，嘗試用不定方程的方法來求解，仔細分析題意，不難發現這道題有一個隐含條件，即手套的副數隻能是自然數。

​解：設超市賣出甲種手套x副，賣出乙種手套y副，則16x 10y=200。

由于手套的副數隻能是自然數，因此這個不定方程有兩組解：

（1）x=5，y=12；

（2）x=10，y=4。

精講3：​某水果店運來橘子、蘋果和香蕉共15箱，總價為860元。已知每箱橘子40元，每箱蘋果50元，每箱香蕉70元，你知道這三種水果各運來多少箱？

分析：這道題含有3個未知數，如果分别設運來橘子x箱，運來蘋果y箱，運來香蕉z箱，可以通過列出不定方程組進行解答，但這道題已經告訴我們三種水果一共運來15箱，因此隻要設運來橘子x箱，運來蘋果y箱，運來香蕉的箱數就可以用（15－x－y），這樣就隻要根據一個不定方程來求解就行了，比較簡便一些。

解：設運來橘子x箱，運來蘋果y箱，則運來香蕉（15－x－y）箱。

根據題意得：40x 50y 70×（15－x－y）=860

化簡得：y=（19－3x）÷2

解得：

（1）x=1，y=8，15－x－y=6，即橘子1箱，蘋果8箱，香蕉6箱；

（2）x=3，y=5，15－x－y=7，即橘子3箱，蘋果5箱，香蕉7箱；

（3）x=5，y=2，15－x－y=8，即橘子5箱，蘋果2箱，香蕉8箱。

精講4：工地上有一些兩種長度的鋼筋，一種長7米，另一種長4米，總長189米，如果兩種鋼筋都多于10根，且7米的鋼筋比4米的鋼筋多，你知道4米和7米的鋼筋各有多少根嗎？

解：設4米的鋼筋有x根，7米的鋼筋有y根，則4x 7y=189，

即：y=（189-4x）÷7，

解得：①x=28,y=11； ②x=21，y=15；

③x=14，y=19；④ x=7，y=23.

根據“7米的鋼筋比4米多”且“兩種鋼筋都多于10根”得：

4米的鋼筋有14根，7米的鋼筋有19根。

精講5： 一次數學競賽準備了17支鉛筆作為獎品發給了一、二、三等獎的學生，原計劃發給一等獎每人9支，二等獎每人4支，三等獎每人1支，後來改為一等獎每人6支，二等獎每人3支，三等獎每人2支，求一、二、三等獎的學生各有幾人？

解：設獲得一、二、三等獎的學生分别有x人、y人、z人。

根據題意得：9x 4y z=1

6x 3y 2z=17

先消去z，再解方程，

解得：x=1，y=1，z=4，

答：一等獎1人，二等獎1人，三等獎4人。

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