一元三次函數極值問題?1、函數單調性和極值：函數的單調性：設函數在[a,b]上連續，在（a，b）内可導，現在小編就來說說關于一元三次函數極值問題?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

一元三次函數極值問題

1、函數單調性和極值：

函數的單調性：設函數在[a,b]上連續，在（a，b）内可導。

若f′（x）>0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上單調遞增；

若f′（x）<0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上單調遞減。

函數的極值：

定義：若函數f(x)在x0的一個鄰域D有定義，且對D中除x0的所有點，都有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值。同理，若對D中除x0的所有點，都有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極小值。極大值與極小值統稱為極值，極大值點與極小值點統稱為極值點。

計算過程：

（第一充分條件）：求導，找出可能極值點，通過可能極值點兩側符号判斷，計算出函數值；

（第二充分條件）：函數的極值通過其一階和二階導數來确定。對于一元可微函數f (x)，它在某點x0有極值的充分必要條件是f(x)在x0的某鄰域上一階可導，在x0處二階可導，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那麼：（1）若f"（x0）<0，則f在x0取得極大值；（2）若f"（x0）>0，則f在x0取得極小值。

函數取得極值的必要條件：設函數f（x）在點x0處可導，且x0是極值點，則f'(X0)=0。

極值點一定是駐點，駐點不一定是極值點。

函數在導數不存在的點處也可能取得極值，駐點和導數不存在的點稱為可能極值點。

函數在其整個定義域内可能有許多極大值或極小值，而且某個極大值不一定大于某個極小值。

2、函數的凹凸性與拐點

函數的凹凸性：設f(x)在區間D上連續，如果對D上任意兩點a、b

如果恒有f（（a b）/2）<(f(a) f(b))/2，那麼稱f(x)在D上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有f（（a b）/2）>(f(a) f(b))/2，那麼稱f(x)在D上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）。

定理1：設f(x)在閉區間[a,b]上連續，(a,b)上可導，一階導數在（a,b）單調遞增（減），凹（凸）的。

定理2：設f(x)在閉區間[a,b]上連續，(a,b)上具有一階和二階導數，在（a,b）内，二階導數＞（＜）0為凹（凸）的。

函數的拐點：（1）求出函數定義域和二階導數，（2）求二階導數等于0的點或者不存在的點，（3）判斷高數在各個區間的凹凸性，（4）觀察點兩側凹凸性是否發生改變。（凹凸性改變的點叫做函數的拐點）

3、函數的漸近線

定義：曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那麼這條直線稱為這條曲線的漸近線。

鉛直漸近線：就是指當x→C時，y→∞。一般來說，滿足分母為0的x的值C，就是所求的漸進線。x = C 就是垂直漸進線。

水平漸近線：就是指在函數f(x)中，x→ ∞或-∞時，y→c，y=c就是f(x)的水平漸近線。所以我們需要考慮的是x無限變大或者變小後，y的變化情況。

斜漸近線：這種漸近線的形式為y=kx b，b=limf(x)-kx。極限過程都是x趨向于無窮大。

4、描繪函數圖形

（1）函數定義域；

（2）奇偶性和周期性，對稱性和奇偶性；

（3）f（x）全部零點，間斷點和一階二階導數不存在的點，将定義域分成幾個子區間；（4）一階二階導數的符号，确定單調性，凹凸性，極值點，拐點；

（5）水平、鉛直，斜漸近線和其他趨勢；

（6）一階導數和二階導數的零點以及不存在的點所對應的函數值，特殊點（與坐标軸的交點和曲線的端點）；

（7）用光滑的曲線聯結這些點。

5、函數的最大值最小值與最優化問題

f（x）在[a，b]上的最大值與最小值：

（1）求出f（x）的導數；

（2）求出函數在（a，b）内的駐點和導數不存在的點；

（3）求出函數值及區間端點處的函數值f（a），f（b）；（4）比較（3）中值的大小，找出最大值和最小值。

最優化問題：在數學上有時可以歸結為求某以目标函數的最大值和最小值問題。

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