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看似簡單又困難的數學題

生活更新时间:2024-06-29 19:23:42

看似簡單又困難的數學題?本文分享一道看似簡單，但超級困難的數學題，适合高中學曆的讀者，我來為大家講解一下關于看似簡單又困難的數學題?跟着小編一起來看一看吧!

看似簡單又困難的數學題

引言

本文分享一道看似簡單，但超級困難的數學題，适合高中學曆的讀者。

問題

集合有多少個子集，其元素之和是的倍數？

分析

這道題看似隻是小學初中的計數問題，但事實上用普通的排列組合方法是無法求解的。

我們記記為的子集中元素之和等于的個數，記為的子集中元素之和是的倍數的個數。我們要求的是.

為了方便讀者閱讀，我們引入求和符号以及求積符号：

我們考慮這樣一個神奇的多項式：

我們将這個多項式展開，就能發現，對于的任意一個子集，展開式中必然存在一項，反之亦然，從而由的定義可知，展開式中的系數為，也即

這是本題最大的突破口。那麼在接下來的過程中，我們需要用到以下的幾條引理。

令，那麼

引理 1 :

引理 2 :

其中的表示，當時取，當時取

引理 1 的證明：

當時，，

當時，通過模的一組完系，則

證畢！

引理 2 的證明：

當時，，

當時，通過模的一組完系，則

考慮到，令即得

證畢！

下面提供本題的詳細解答。

解答

由分析中的,,的定義，以及引理可得：

從而共有個子集滿足題意。

點評

本題叙述不超過 20 個字，表達的意思也是非常容易能懂，但是很少有人能夠做出。本題看似隻是涉及正整數，但事實上很難想到将其與複數聯系在一起，非常有趣，解法也非常巧妙，适合反複做。

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