作者 | 老張評論

來源 | 圖靈教育

2003 年，大英議會罕見地讨論了一個焦點問題：學一元二次方程，有什麼用？

故事的起因是，在一次英國教師聯合會議上，一元二次方程成為了衆矢之的，它被批判為“數學家強行施加給無辜的、毫無戒備的學生們的典型‘酷刑’之一”。随後，一元二次方程成了當時黃金時段電台節目的讨論主角，在節目裡，它遭到了各種質疑。《泰晤士報》甚至特意在頭條位置寫道：一元二次方程是毫無用處的，數學是無用的……沒有人真想學習數學，大家不必浪費時間。

有鑒于此，為了避免對一元二次方程的不利看法在民衆心裡一直占據上風，英國下議院專門讨論了這個問題。幸好，英國民衆最後沒有放棄數學，免除了數學的“罪過”。

為什麼會發生這種咄咄怪事？在數學界，有些編寫教材的人想維護“數學王國”的神秘和尊嚴，卻忘記了數學的“初心”——他們大概也不了解數學是怎樣生長起來的。事實上，和所有科學門類一樣，學習數學最好的方式之一就是從了解數學的發展脈絡，也就是數學史開始。

學習數學的基本方式，簡單地說也是三段論：遇到問題 — 分析問題 — 解決問題。

你也許遇到過這個問題：一個長方形的長比寬多 2，且其面積是 63，問：長方形的長是多少？

其實，在公元 823 年左右，花拉子米從印度回到波斯後，就給此類問題提出了一個解法，即用圖形構造代數問題的解決方法。實際上，這個最古老的解法正是初中學生能快速掌握一元二次方程的好方法。孩子們通常要學一個月的課程内容，或許可以壓縮到一節課，就學完了！等你學會了這個方法後，反過來想想，整個初中代數的基本框架也許用十個小時左右就能掌握了。

實際上，這才是真正意義上的“減負”學習法吧？

《不可能的幾何挑戰》一書以數學史上四大著名的“古代問題”——化圓為方、三等分角、倍立方、作圓内接正多邊形為基礎，從曆史的角度，展現了兩千多年來，數學家們為解決這些問題留下的令人拍案叫絕的思想與成就。這場曆史的探索将我們從古典時期引領到今天。縱觀兩千年，這四個“不可能解決”的問題引導、啟發了人們數學思維的發展，發掘出數學思想史中的種種細節。人們為解決這些問題而找到的方法——盡管大多“竹籃打水一場空”——延伸至整個數學領域，衆多重大數學發現皆與它們息息相關。笛卡兒、牛頓、高斯等數學巨擘，都多多少少從這些問題的讨論中吸取營養，各自成為數學大方。

然而，問題本身反而是次要的。我們走完這趟旅行，就會發現整個古典數學的經緯脈絡就變得清清楚楚，各個知識點也顯得更容易掌握。這時候，我們回頭再看初中和高中的數學課本，每個知識點的來龍去脈就完全活了起來。

我們就用上述花拉子米的解法來舉個例子。如何用 10 分鐘給初中生講明白一元二次方程？

分析：一個長方形的長比寬多 2，且其面積是 63，請問長方形的長是多少？

第一步：該長方形首先可以切成兩個部分，一個是邊長為寬（設為 a）的正方形 A，面積為 Sa=寬²；另一個是長方形 B，面積為 Sв=a×2。

第二步：長方形 B 可以繼續平分為兩個長方形 C，其面積為 Sс=a×1= a。

第三步：正方形 A 和兩個長方形 C 可以拼成缺了一個角的正方形。而這個大正方形的邊長為 a 1。如圖所示，這個缺失的角是一個 1×1 的正方形。

第四步：從上圖中可以看出大正方形面積等于：

a² 2×a 1=（a 1）²= 63 1=64

解得 a=7

透過這個例子不難看出，數學的底層邏輯，如“這個問題是怎麼來的？”“它是如何演變和進化的？”“知識樹又是怎麼生長的？”，大多藏在數學史中。帶着問題去學習，往往是最好的路徑。

數學學習最好遵循先“場景化”，再“圖形化”，然後“符号化”的規律。但在很多情況下，孩子們在課堂裡遇上的數學一上來就被“符号化”了——這就是很多孩子覺得“數學難”的根本原因。

《不可能的幾何挑戰》這本書恰恰在場景化和圖形化方面做得十分精彩。每個符号變換背後，都有圖形變換和場景作為支撐。通過讨論這幾個議題，作者帶着我們把整個初等數學和高等數學的框架都“刷”了一遍。而這種浏覽絕對不是課本式的，它所遵循的正是“提出問題—分析問題—解決問題”的三段式學習方法。

最後的效果是，我們不但看見了“樹木”，更看見了整個數學體系這片森林。

《不可能的幾何挑戰》

作者：大衛·S.裡奇森

出版社：人民郵電出版社

出版時間：2022-01

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