中考數學幾何模型9：隐圓模型

名師點睛 撥開雲霧 開門見山

【點睛1】觸發隐圓模型的類型

（1）動點定長模型

若P為動點，但AB=AC=AP 原理：圓A中，AB=AC=AP

則B、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑 備注：常轉全等或相似證明出定長

（2）直角圓周角模型

固定線段AB所對動角∠C恒為90° 原理：圓O中，圓周角為90°所對弦是直徑

則A、B、C三點共圓，AB為直徑 備注：常通過互餘轉換等證明出動角恒為直角

（3）定弦定角模型

固定線段AB所對動角∠P為定值 原理：弦AB所對同側圓周角恒相等

則點P運動軌迹為過A、B、C三點的圓 備注：點P在優弧、劣弧上運動皆可

（4）四點共圓模型①

若動角∠A 動角∠C=180° 原理：圓内接四邊形對角互補

則A、B、C、D四點共圓 備注：點A與點C在線段AB異側

（5）四點共圓模型②

固定線段AB所對同側動角∠P=∠C 原理：弦AB所對同側圓周角恒相等

則A、B、C、P四點共圓 備注：點P與點C需在線段AB同側

【點睛2】圓中旋轉最值問題

條件：線段AB繞點O旋轉一周，點M是線段AB上的一動點，點C是定點

（1）求CM最小值與最大值

（2）求線段AB掃過的面積

（3）求

最大值與最小值

作法：如圖建立三個同心圓，作OM⊥AB，B、A、M運動路徑分别為大圓、中圓、小圓

結論：①CM1最小，CM3最大

②線段AB掃過面積為大圓與小圓組成的圓環面積

③

最小值以AB為底，CM1為高；最大值以AB為底，CM2為高

典題探究 啟迪思維 探究重點

例題1. 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上的一動點，将△AMN沿MN所在直線翻折得到△A`MN，連接A`C，則A`C長度的最小值是__________．

【分析】考慮△AMN沿MN所在直線翻折得到△A’MN，可得MA’=MA=1，所以A’軌迹是以M點為圓心，MA為半徑的圓弧．連接CM，與圓的交點即為所求的A’，此時A’C的值最小．構造直角△MHC，勾股定理求CM，再減去A’M即可，答案為

．

變式練習>>>

1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點F在邊AC上，并且CF=2，點E為邊BC上的動點，将△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是__________．

【分析】考慮到将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P點軌迹是以F點為圓心，FC為半徑的圓弧．過F點作FH⊥AB，與圓的交點即為所求P點，此時點P到AB的距離最小．由相似先求FH，再減去FP，即可得到PH．答案為1.2.

例題2. 如圖，已知圓C的半徑為3，圓外一定點O滿足OC=5，點P為圓C上一動點，經過點O的直線l上有兩點A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不經過點C，則AB的最小值為________．

【分析】連接OP，根據△APB為直角三角形且O是斜邊AB中點，可得OP是AB的一半，若AB最小，則OP最小即可．連接OC，與圓C交點即為所求點P，此時OP最小，AB也取到最小值．答案為4.

變式練習>>>

2．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直線BC、AB上的兩個動點，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，連接PF、PD，則PF PD的最小值是_________．

答案為8.

【分析】F點軌迹是以E點為圓心，EA為半徑的圓，作點D關于BC對稱點D’，連接PD’，PF PD化為PF PD’．連接ED’，與圓的交點為所求F點，與BC交點為所求P點，勾股定理先求ED‘,再減去EF即可．

例題3. 如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF，連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H，若正方形邊長為2，則線段DH長度的最小值是________．　

【分析】根據條件可知：∠DAG=∠DCG=∠ABE，易證AG⊥BE，即∠AHB=90°，所以H點軌迹是以AB為直徑的圓弧當D、H、O共線時，DH取到最小值，勾股定理可求．答案為

變式練習>>>

3．如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P是△ABC内部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP長的最小值是_________．

答案為

【分析】∵∠PBC ∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB ∠PBA=90°，∴∠APB=90°，

∴P點軌迹是以AB為直徑的圓弧．

當O、P、C共線時，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再減去OP即可．

例題4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，點D是AC上的一個動點，以CD為直徑作圓O，連接BD交圓O于點E，則AE的最小值為_________．

【分析】連接CE，由于CD為直徑，故∠CED=90°，考慮到CD是動線段，故可以将此題看成定線段CB對直角∠CEB．取CB中點M，所以E點軌迹是以M為圓心、CB為直徑的圓弧．連接AM，與圓弧交點即為所求E點，此時AE值最小，

．

變式練習>>>

4．如圖，正方形ABCD的邊長為4，動點E、F分别從點A、C同時出發，以相同的速度分别沿AB、CD向終點B、D移動，當點E到達點B時，運動停止，過點B作直線EF的垂線BG，垂足為點G，連接AG，則AG長的最小值為　 　．

【分析】首先考慮整個問題中的不變量，僅有AE=CF，BG⊥EF，但∠BGE所對的BE邊是不确定的．

重點放在AE=CF，可得EF必過正方形中心O點，連接BD，與EF交點即為O點．

∠BGO為直角且BO邊為定直線，故G點軌迹是以BO為直徑的圓．記BO中點為M點，當A、G、M共線時，AG取到最小值，利用Rt△AOM勾股定理先求AM，再減去GM即可．答案為

例題5. 如圖，等邊△ABC邊長為2，E、F分别是BC、CA上兩個動點，且BE=CF，連接AE、BF，交點為P點，則CP的最小值為________．

答案為

【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°，但∠APF所對的邊AF是變化的．所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值．所以如圖所示，P點軌迹是以點O為圓心的圓弧．（構造OA=OB且∠AOB=120°）

當O、P、C共線時，可得CP的最小值，利用Rt△OBC勾股定理求得OC，再減去OP即可．

變式練習>>>

5．在△ABC中，AB=4，∠C=60°，∠A>∠B，則BC的長的取值範圍是________．

【分析】先作圖，如下

答案為：

條件不多，但已經很明顯，AB是定值，∠C=60°，即定邊對定角．故點C的軌迹是以點O為圓心的圓弧．（作AO=BO且∠AOB=120°）題意要求∠A>∠B，即BC>AC，故點C的軌迹如下圖．當BC為直徑時，BC取到最大值為

，考慮∠A為△ABC中最大角，故BC為最長邊，BC>AB=4．無最小值．

例題6. 如圖，ABCD為正方形，O為AC、BD的交點，△DCE為Rt△，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若OE＝

，則正方形的面積為（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

【解答】解：如圖，過點O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延長線于N，

∵∠CED＝90°，

∴四邊形OMEN是矩形，

∴∠MON＝90°，

∵∠COM ∠DOM＝∠DON ∠DOM，

∴∠COM＝∠DON，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OC＝OD，

在△COM和△DON中，

∴△COM≌△DON（AAS），

∴OM＝ON，

∴四邊形OMEN是正方形，

設正方形ABCD的邊長為2a，

∵∠DCE＝30°，∠CED＝90°

∴DE＝a，CE＝

a， 亦可按隐圓模型解答

設DN＝x，x DE＝CE﹣x，解得：x＝

，

∴NE＝x a＝

，

∵OE＝

NE，

∴

＝

•

，

∴a＝1，

∴S正方形ABCD＝4

故選：B．

變式練習>>>

6．如圖， BE，CF為△ABC的高，且交于點H，連接AH并延長交于BC于點D，求證：AD⊥BC.

例題7. 如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AC為對角線，過點D作DF⊥AB，垂足為E，交CB延長線于點F，若AC＝CF，∠CAD＝∠CFD，DF﹣AD＝2，AB＝6，則ED的長為　

　．

【解答】解：∵∠CAD＝∠CFD，∴點A，F，C，D四點共圓，

∴∠FAD ∠DCF＝180°，∠FAC＝∠FDC，

∵∠DCF＝90°，∴∠FAD＝90°，

∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，

∵DF⊥AB，∴∠ABF ∠BFE＝∠CDF ∠BFE＝90°，

∴∠ABF＝∠CDF，∴∠AFB＝∠ABF，∴AF＝AB＝6，

∵DF﹣AD＝2，∴DF＝AD 2，

∵DF2＝AF2 AD2，∴（2 AD）2＝62 AD2，解得：AD＝8，∴DF＝10，

∵∠FAD＝90°，AE⊥DF，∴△ADE∽△DAF，

∴

＝

，∴DE＝

＝

＝

，

故答案為：

．

變式練習>>>

7．（1）如圖1，E是正方形ABCD的邊AB上的一點，過點E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點F，求證：FE=DE.

（2）如圖2，正方形ABCD，∠EAF＝45°，當點E，F分别在對角線BD、邊CD上，若FC＝6，則BE的長為　3

　．

圖1 圖2

證明：（1）如圖，連接DB、DF.

∵四邊形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分線，

∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，

∴∠DBF=90°．

又∵∠DEF=90°，

∴D、E、B、F四點共圓．

∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對的圓周角相等）．

∴△DEF是等腰直角三角形．

∴FE=DE．

（2）解：作△ADF的外接圓⊙O，連接EF、EC，過點E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如圖）

∵∠ADF＝90°，∴AF為⊙O直徑，

∵BD為正方形ABCD對角線，∴∠EDF＝∠EAF＝45°，

∴點E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，

∴△AEF為等腰直角三角形，∴AE＝EF，

在△ABE與△CBE中

，∴△ABE≌△CBE（SAS），

∴AE＝CE，∴CE＝EF，

∵EM⊥CF，CF＝6，∴CM＝

CF＝3，

∵EN⊥BC，∠NCM＝90°，∴四邊形CMEN是矩形，∴EN＝CM＝3，

∵∠EBN＝45°，∴BE＝

EN＝3

，

故答案為：3

．

例題8. 在銳角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1，

點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中，點P的對應

點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

[解析]

如圖，過點B作BD⊥AC，D為垂足，

因為△ABC為銳角三角形，所以點D在線段AC上，

在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝

；

①當P在AC上運動與AB垂直的時候，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB上時，EP1最小，最小值為：EP1＝BP1﹣BE＝BD﹣BE＝

﹣2；

②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，最大值為：EP1＝BC BE＝2 5＝7．

變式練習>>>

8．如圖，已知等邊△ABC的邊長為8，點P是AB邊上的一個動點（與點A、B不重合）．直線l是經過點P的一條直線，把△ABC沿直線l折疊，點B的對應點是點B’．當PB=6時，在直線l變化過程中，求△ACB’面積的最大值．

【分析】考慮l是經過點P的直線，且△ABC沿直線l折疊，所以B’軌迹是以點P為圓心，PB為半徑的圓弧．考慮△ACB’面積最大，因為AC是定值，隻需B’到AC距離最大即可．過P作作PH⊥AC交AC于H點，與圓的交點即為所求B’點，先求HB’，再求面積．答案為

.

達标檢測 領悟提升 強化落實

1. 如圖， AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB=10，AC=8．D是弧BC上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE．在點D移動的過程中，BE的最小值為　 　．

答案為：

【分析】E是動點，E點由點C向AD作垂線得來，∠AEC=90°，且AC是一條定線段，所以E點軌迹是以AC為直徑的圓弧．當B、E、M共線時，BE取到最小值．連接BC，勾股定理求BM，再減去EM即可．

2.

如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的長分别為3，5，求三角形OBE的面積．

3. 如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是AD邊上一動點，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，點P是AD邊上另一動點，則PC PF的最小值為________．

答案為：

【分析】∠AFB=90°且AB是定線段，故F點軌迹是以AB中點O為圓心、AB為直徑的圓．考慮PC PF是折線段，作點C關于AD的對稱點C’，化PC PF為PC’ PF，當C’、P、F、O共線時，取到最小值．

4. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，D是BC上一動點，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于點F，則CF的最大值是_________．

【分析】∠AEC=90°且AC為定值，故E點軌迹是以AC為直徑的圓弧．考慮EF⊥AB，且E點在圓上，故當EF與圓相切的時候，CF取到最大值．

連接OF，易證△OCF≌△OEF，∠COF=30°，故CF可求．答案為

5. 如圖，△ABC為等邊三角形，AB=3，若P為△ABC内一動點，且滿足∠PAB=∠ACP，則線段PB長度的最小值為_________．

答案為

6. 如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個動點（含端點B，不含端點C），連接AD，過點C作CE⊥AD于E，連接BE，在點D移動的過程中，BE的取值範圍是　

﹣2≤BE＜3　．

【解答】解：如圖，

由題意知，∠AEC＝90°，

∴E在以AC為直徑的⊙M的

上（不含點C、可含點N），

∴BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），

∵AB＝5，AC＝4，

∴BC＝3，CM＝2，

則BM＝

＝

＝

，

∴BE長度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝

﹣2，

BE最長時，即E與C重合，

∵BC＝3，且點E與點C不重合，

∴BE＜3，

綜上，

﹣2≤BE＜3，

故答案為：

﹣2≤BE＜3．

7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為　8　．

【解答】解：解：如圖，連接CE，

∴∠CED＝∠CEA＝90°，

∴點E在以AC為直徑的⊙Q上，

∵AC＝10，

∴QC＝QE＝5，

當點Q、E、B共線時BE最小，

∵BC＝12，

∴QB＝

＝13，

∴BE＝QB﹣QE＝8，

∴BE的最小值為8，

故答案為8．

8. 如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝

，點D是AC邊上一動點，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點E，則線段CE長度的最小值為　2

﹣2　．

【解答】解：連結AE，如圖1，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝

，

∴AB＝AC＝4，

∵AD為直徑，

∴∠AED＝90°，

∴∠AEB＝90°，

∴點E在以AB為直徑的⊙O上，

∵⊙O的半徑為2，

∴當點O、E、C共線時，CE最小，如圖2，

在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，

∴OC＝

＝2

，

∴CE＝OC﹣OE＝2

﹣2，

即線段CE長度的最小值為2

﹣2．

故答案為2

﹣2．

9. 如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝8，點O、P分别是邊AB、AD的中點，點H是邊CD上的一個動點，連接OH，将四邊形OBCH沿OH折疊，得到四邊形OFEH，連接PE，則PE長度的最小值是　2

﹣2

　．

【解答】解：如圖，連接EO、PO、OC．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠OAP＝90°，

在Rt△OBC中，BC＝8，OB＝2，

∴OC＝

＝2

，

在Rt△AOP中，OA＝2，PA＝4，

∴OP＝

＝2

，

∵OE＝OC＝2

，PE≥OE﹣OP，

∴PE的最小值為2

﹣2

．

故答案為2

﹣2

．

10. 如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E是AB邊上一點，且AE＝2，點F是邊BC上的任意一點，把△BEF沿EF翻折，點B的對應點為G，連接AG，CG，則四邊形AGCD的面積的最小值為　

　．

【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根據勾股定理得，AC＝5，

∵AB＝3，AE＝2，

∴點F在BC上的任何位置時，點G始終在AC的下方，

設點G到AC的距離為h，

∵S四邊形AGCD＝S△ACD S△ACG＝

AD×CD

AC×h＝

×4×3

×5×h＝

h 6，

∴要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，

∵點G是以點E為圓心，BE＝1為半徑的圓上在矩形ABCD内部的一部分點，

∴EG⊥AC時，h最小，即點E，點G，點H共線．

由折疊知∠EGF＝∠ABC＝90°，

延長EG交AC于H，則EH⊥AC，

在Rt△ABC中，sin∠BAC＝

，

在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝

，

∴EH＝

AE＝

，

∴h＝EH﹣EG＝

﹣1＝

，

∴S四邊形AGCD最小＝

h 6＝

6＝

．

故答案為：

．

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