原文作者，Antonella Perucca ，本文原載于 plus magazine網站。

翻譯作者，donkeycn，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對，小米。

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在鐘面上，你可以找到數字1到12——但是稍微改變一下，你能用别的方式表示這些數字嗎？

答案是肯定的．例如，你可以利用和、積、幂把表示為2 2、2×2、2²．如果你喜歡這個數，你也可以用“取上整函數”（不小于該數的最接近的整數）把表示為 ⌈π⌉ ．顯然存在無窮多種方式來表示，而哪種是最好的，取決于個人喜好．一般來說，你可以用自己最喜歡的方式來表示1到12，從而制作出專屬于自己的數學時鐘．

如果你想尋找一些獨特的東西，你可以使用e、π、i（虛數單位）通過歐拉恒等式來表示：

或者，如果你喜歡巴塞爾問題，可以把表示為所有正整數與π的乘積的平方的倒數和的倒數（譯者注：原文有誤，少了最後的取倒數）：

作為一個更具體的例子，你可以從數字1到9中任選一個，然後僅用選定的這一個數字（可以重複使用）和數學符号來表示鐘面上所需的所有數字(下面的圖中提供了一些示例)．

更一般地，對于任何給定的一個實數（可以重複使用），隻需要配上适當的數學符号，就可以表示從1到12的所有整數了．原因是：我們總可以找到一個合适的表達式來表示１．具體來說：對于任意一個不大于１的正數，隻需用取上整函數（即向上取整數）即可；對于任意一個大于１的正數，我們可以把１表示為把x的x次方根向下取整，可以用如下的對數恒等式來檢驗：

最後，對于負數，可以通過取絕對值變成正數；對于0，可以使用0! = 1．

市面上有許多數學時鐘，鐘面上有着各種各樣的表達式．偶爾，你會發現鐘面上會有某個數列的前12項，而不是1到12．例如，你可能會碰到前12個斐波那契數：

1，1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144

同樣地，你也可以使用字母A到L．

另一種選擇是：寫下某個方程，使得所要表示的數是該方程的唯一解，例如，把5表示為：

x² 7 = 10x -18

還有一些數學時鐘，鐘面上的方程有不止一個解，但恰有一個解在1到12的整數中．一般地，有時數學時鐘上是有數學錯誤的（例如，3并不恰好等于）！

盡管如此，在與數字們相處的過程中，你可以做任何事情來獲取樂趣．因此，我們提議你來制作專屬于你自己的數學時鐘，當然如果你需要一些靈感的話，這裡有一些例子．

數學時鐘主題

在下面的那些圖中，你可以找到各種各樣的數學時鐘，包括1到12的各種不同的表示法．你可以從中選出一個打印出來，并用它作為鐘面（例如，你買一個定制鐘面的鐘），或者你可以簡單地将選定的數字的表達式直接放置在鐘面上或周圍．你也可以買一些可以直接在鐘面上寫字的鐘，這樣你就可以在閑暇的時候更改你的數學時鐘．

這裡是一些例子：

數字1到9的鐘

從十進制數字1到9中任意選定一個，然後用隻含有選定的那個數字以及算術運算的簡短的表達式來表示整數1到12．這裡我們使用的是基本的算術運算，以及幂和平方根運算．

這裡是一個數字7的鐘的例子．下面給出1、2、3、4、5、6、8和9的表達式（注意，對于數字5、6和7，我們隻使用了基本的算術運算）．

數字1、2、3主題

隻可以按照數字1、2、3的次序且每個數字恰好隻用一次可以表示整數1到12．這裡我們使用基本的算術運算，以及幂、平方根、階乘運算（正整數n的階乘，記為n!，定義為從1到n的所有正整數的乘積）和取下整函數 ⌊⌋ （這個函數将一個實數對應到不大于它的最接近的整數）．

π鐘

隻使用、基本的算術運算、取下整/取上整函數 ⌈⌉/⌊⌋(這兩個函數分别将一個實數對應到不大于/不小于它的最接近的整數)可以表示整數1到12．

e鐘

隻使用e、基本算術運算、取幂、取平方根、以及取下整/取上整函數可以表示整數1到12．

二進制鐘

在這裡，我們把1到12寫成二進制的形式，即隻使用數字0和1．

素數鐘

在這裡，我們隻寫出1到12中的素數．

中文數字詞鐘

在這裡，我們用中文數字表示數字1到12：您可能注意到數字11、12是如何分别由對應于10的中文數字與對應于1、2的中文數字組成的．

瑪雅數字鐘

在這裡，我們使用瑪雅數字表示數字1到12：一點代表數字1，一橫代表數字5．

π鐘、e鐘、數字1到9的鐘以及數字123鐘都是由作者開發的(對于123主題，我們從數學時鐘中獲得了一些靈感)．

更多的例子...

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