微積分課上都會講極限的概念，我們知道它與逼近有關，但在證明中你會怎麼利用它呢？

你可能對極限有很好的直觀理解。f(x)的極限是指當x接近a時，f(x)接近的值。在更一般的意義上，當輸入接近一個值時，函數也接近一個極限值。

雖然這種直覺很好，但在證明中是不适用的。我們需要一個精确的定義來說明接近某物的含義。經過幾個世紀的思考，魏爾斯特拉斯（Weierstrass ）想出了這樣一個定義：極限的epsilon-delta定義。

如果我們要将這個定義形式化，有很多情況，但現在隻關注兩種情況（稍後會推廣它們）：有限極限和無限極限。對于有限的雙邊極限，有：

D是f(x)的定義域。對于無限極限，有：

對于負無窮大的極限，用x<-N代替x>N。

邏輯等價性

這意味着P和Q在邏輯上是等同的。也就是說，P和Q同時為真或同時為假。如果想證明P，那麼你可以證明Q，反之亦然。在極限定義中，這意味着，如果：

等同于：

全稱量詞

上面表達式的意思是，S的每個元素（表示為k）都将滿足後面的條件。你可以把它看作是對那些不相信你接下來要說的話的人的一種挑戰。"你不相信我？挑選S中的任何元素，稱其為k，k将滿足這個右邊的一切條件。"

定義中全稱量詞的兩個實例是：

第一個表達式意味着你可以選擇任何你想要的正數。第二個表達式意味着你可以在f(x)的定義域中選擇任何元素。

存在量詞

這個表達式的意思是，在S中至少有一個元素k，使得後面的一切都為真。我們經常需要證明這樣一個k的存在，包括在證明極限時。

定義中存在量詞的唯一實例是：

當它與前面的陳述結合時，意味着你至少可以說出一個正數，這樣無論你為ϵ選擇什麼樣的正值，其餘的陳述都是真的。

意味着

這個表達式意味着，如果P是真的，那麼Q就是真的。典型的例子是 "如果你在雨中行走，那麼你會被淋濕"，這句話看起來像：

請注意，如果這句話是真的，那麼就有三種可能性：

1. 你在雨中行走，你會被淋濕。
2. 你不在雨中行走，你就不會被淋濕。
3. 你沒有在雨中行走，但你被淋濕了（例如，你掉進了遊泳池或被灑水器噴到）。

這句話唯一可能是假的，那就是你能在雨中行走，但你沒有被淋濕。舉個例子很重要，因為有些人把“意味着”和邏輯上的等同性混為一談。兩者之間最大的區别是，在“意味着”情況下，P可以是假的，Q可以是真的，但邏輯上的等價關系卻不能。

定義中唯一的“意味着”：

表示如果x在a的距離内（但不等于a），那麼f(x)在L的距離ϵ内。

歸納起來

說：

等于說對于任何一個正值的 ϵ：

我們可以找到至少一個正值的：

這樣，對于定義域D内的任何值x：

(0 < x - a | < ）意味着（| f(x) - L | < ϵ）。

很多老師或教科書都會止步于此，不告訴你如何把這個定義用于任何情況。我們可以把這個定義提煉成一套一般的步驟，可以按照這些步驟來證明極限。

有限極限

1. 選擇一個任意的ϵ>0的值。在這種情況下，這意味着我們把ϵ當作一個變量。
2. 對x求解不等式| f(x) - L| < ϵ。
3. 你應該得到類似m(ϵ, a) < x < n(ϵ, a)的結果，其中m(ϵ, a)和n(ϵ, a)是包含ϵ和a的表達式。
4. 是兩個值中較小的一個| m(ϵ, a) - a |和| n(ϵ, a) - a |。

無限極限

1. 選一個任意的ϵ>0的值。在這種情況下，這意味着我們把ϵ當作一個變量。
2. 求解N的不等式| f(x) - L| < ϵ。
3. 你應該得到類似N>g(ϵ, x)的結果，其中g(ϵ, x)是一個包含ϵ和x的表達式。

一個簡單的例子

首先，我們把ϵ當作一個任意的變量，然後解以下關于x的不等式：

m(ϵ, 5) = 5 - ϵ / 2，n(ϵ, 5) = 5 ϵ / 2。請注意，如果我們想從分子和分母中取消（x - 5），x不能等于5。幸運的是，對于極限來說，x永遠不需要。現在，我們計算上面的兩個值，需要确定一個的值。

這兩個值是相等的，所以我們可以選擇 = ϵ / 2，這就完成了。當然，如果願意，我們可以選擇更小的，例如，ϵ / 3或ϵ / π。

有幾種類型的極限：

• 有限的極限
• 左極限
• 右極限
• 正無窮大時的極限
• 負無窮大時的極限
• 級數的極限
• 高維的極限

每個都有一個定義，但定義本身是非常相似的。所有這些都有一些一般的想法。問題在于，每一個極限都在接近極值的方式上有所不同，它們需要不同的定義。

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