（1）了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.

（2）了解微積分基本定理的含義.

一、定積分

1．曲邊梯形的面積

（1）曲邊梯形：由直線x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲線 y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①)．

（2）求曲邊梯形面積的方法與步驟：

①分割：把區間[a，b]分成許多小區間，進而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖②)；

②近似代替：對每個小曲邊梯形“以值代曲”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個小曲邊梯形面積的近似值(如圖②)；

③求和：把以近似代替得到的每個小曲邊梯形面積的近似值求和；

④取極限：當小曲邊梯形的個數趨向無窮時，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個定值，即為曲邊梯形的面積．

2．求變速直線運動的路程

如果物體做變速直線運動，速度函數為v=v(t)，那麼也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.

3．定積分的定義和相關概念

4．定積分的性質

【注】定積分的性質（3）稱為定積分對積分區間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和．

5．定積分的幾何意義

6．定積分與曲邊梯形的面積的關系(常用結論)

定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結合具體圖形來确定：

設陰影部分面積為S,則

7．定積分的物理意義

二、微積分基本定理

【注】常見的原函數與被積函數的關系

考向一 定積分的計算

1．求定積分的三種方法

（1）利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強；

（2）利用微積分基本定理求定積分；

2．用牛頓—萊布尼茨公式求定積分的步驟

（1）把被積函數變形為幂函數、正弦函數、餘弦函數、指數函數與常數的積的和或差；

（2）把定積分用定積分性質變形為求被積函數為上述函數的定積分；

（3）分别用求導公式找到一個相應的原函數；

（4）利用牛頓—萊布尼茨公式求出各個定積分的值；

（5）計算原始定積分的值.

3．分段函數的定積分

分段函數求定積分，可先把每一段函數的定積分求出後再相加．

4．奇偶函數的定積分

考向二 利用定積分求平面圖形的面積

利用定積分求平面圖形面積問題的常見類型及解題策略

（1）利用定積分求平面圖形面積的步驟

①根據題意畫出圖形；

②借助圖形确定出被積函數，求出交點坐标，确定積分的上、下限；

③把曲邊梯形的面積表示成若幹個定積分的和；

④計算定積分，寫出答案．

（2）知圖形的面積求參數

求解此類題的突破口：畫圖，一般是先畫出它的草圖；然後确定積分的上、下限，确定被積函數，由定積分求出其面積，再由已知條件可找到關于參數的方程，從而可求出參數的值．

（3）與概率相交彙問題

解決此類問題應先利用定積分求出相應平面圖形的面積，再用相應概率公式進行計算.

考向三 定積分的物理意義

利用定積分解決變速直線運動與變力做功問題

利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數和變力與位移之間的函數關系，确定好積分區間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求.

【名師點睛】

1、定積分的計算一般有三個方法：

①利用微積分基本定理求原函數；

②利用定積分的幾何意義，即利用面積求定積分；

③利用奇偶性、對稱性求定積分，如奇函數在對稱區間的定積分值為0.

2、由函數圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用，一般轉化為定積分的計算及應用， 但一定要找準積分上限、下限及被積函數，且當圖形的邊界不同時，要讨論解決．具體步驟如下：

(1)畫出圖形，确定圖形範圍；

(2)解方程組求出圖形交點坐标，确定積分上、下限；

(3)确定被積函數，注意分清函數圖形的上、下位置；

(4)計算定積分，求出平面圖形的面積．

3．由函數求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數可根據其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．

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