(A8)無窮小并不是零
上幾篇文章介紹了數列的極限,從而導出了函數的極限,又介紹了無窮小量的概念,這次更加深入一步,來了解下函數的連續。
提到連續,首先想到的一定是連綿不絕,沒有中斷的意思,這當然不夠嚴謹,所以必須從數學上進行下定義:
文字很枯燥,解釋卻比較簡單:
第一種定義:有一個函數f(x),當自變量x無限趨近于x0的時候,其極限的值就是f(x)在x0處的函數值。打個比方吧,當鐘表指針無限靠近5:00的時候,我們就知道現在就是5:00。
第二種定義:有一個函數f(x),當自變量x變化的微乎其微時,函數值的變化可以忽略。再打個比方,我現在坐在電腦前打字,在這之前的0.001秒或之後的0.001秒(類似△x->0),我依然坐在電腦前打字,幾乎沒有變化。
另外還有兩種連續:左連續和右連續,看下圖,唯一的區别是多了個正負号:
x->x0-表示的是自變量x從小于x0值向x0方向單向無限逼近:左連續。
x->x0 表示的是自變量x從大于x0值向x0方向單向無限逼近:右連續。
這又有什麼意義呢?舉個例子吧,如果0是起點,x0是終點線,x是個運動員,在x即将撞線的時候,就是一個左連續,這時候大于x0的情況是不考慮的,因為到了終點線再奔跑就沒有意義了。如果有個比賽是倒着跑的,那麼即将撞到起點0的過程就是一個右連續過程了。
有了連續的定義,就自然有不連續:
1、極限存在,但是不等于f(x0)或者f(x0)沒定義,叫做可去間斷點,可去的意思就是這點有缺憾,去掉這點缺憾就完美(連續)了。
2、左右極限存在但不等,叫做跳躍間斷點,不相等表示有差距嘛。
以上的二類叫做第一類間斷點。如果極限不存在,那就叫第二類間斷點了。
我們很容易在學習的過程中忘記目的,在前進的過程中忘記方向。講了這麼多,為什麼會出現個連續,連續有什麼用呢?
因為大自然很多都是連續事物(如時間流逝,飛機飛行),而分析這類事物需要用到導數,而研究導數的前提是連續!所以連續就是為了給導數作鋪墊。
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(A10)連續的初等函數
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