無窮小和無窮大是高數中最重要的一個内容。

無窮小其實很簡單，就是當x->x0(x->∞)的時候函數f(x)的極限為0，那麼稱函數f(x)為當x->x0(x->∞)時的無窮小。這個就是無窮小的定義。是不是很好理解，不過這裡要注意一下，無窮小并不是很小很小的一個數，不要把無窮小與很小的數混為一談，因為無窮小是這樣一個函數，在x->x0(x->∞)的過程中，這個函數的絕對值能小于任意給定的正數ε, 而很小的數比如百萬分之一，就不能小于任意給定的正數ε, 因為你很小的數不管怎麼取，那我都可以找到你不滿足這個條件的ε, 但零是可以作為無窮小的唯一常數，因為f(x)=0, 那麼對于任意給定的ε>0, z總有對于任意給定的ε>0, 總有|f(x)|<ε。

例如：因為函數f(x)= x-1 當x->1的時候函數的極限為0， 所以函數f(x)為當x->1時的無窮小。

g(x) = 1/ x, 當x->∞的時候函數的極限為0， 所以函數g(x)為當x->∞時的無窮小。

函數極限與無窮小有如下關系：在自變量的同一變化過程中x->x0(x->∞)中，函數f(x)具有極限A的充分必要條件是f(x)=A α, 其中α是無窮小。

必要性： 設lim f(x) = A (x->x0), 則∀ ε>0, ∃δ>0, 使當0<|x-x0|<δ時， 有 |f(x)-A|<ε, 令α=f(x)-A, 則α是當x->x0時的無窮小， 且f(x)=A α。

充分性：設f(x)=A α, 其中A是常數， α是當x->x0時的無窮小， 于是|f(x)-A| = |α|, 因α是當x->x0是的無窮小。所以∀ε>0, ∃δ>0， 使得當0<|x-x0|<δ時， 有|α| < ε, 即|f(x)-A| < ε。所以A是f(x)當x->x0時的極限。

如果當x->x0(x->∞)時， 對應的函數值的絕對值|f(x)|可以大于預先指定的任何很大的正數M， 那麼就稱函數f(x)是當x->x0(x->∞)時的無窮大。定義如下：

設函數f(x)在x0的某一去心領域内有定義(或|x|大于某一正數時有定義)，如果對于任意給定的正數（不論它有多麼大），總存在正數δ（或正數X）， 隻要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或者|x|>X), 對應的函數值f(x)總滿足不等式 |f(x)|>M, 那麼稱函數f(x)是當x->x0(x->∞)時的無窮大。

按函數極限的定義來說，當x->x0(或x->∞)時的無窮大的函數f(x)的極限是不存在的，但為了便于叙述函數的這一形态，我們也說“函數的極限是無窮大”，并記作 limf(x)=∞(x->x0或者x->∞)。

如果在無窮大的定義中，把|f(x)|>M換成f(x)>M或者f(x)<-M, 就記作lim f(x)= ∞(x->x0/x->∞) 或者lim f(x)=-∞(x->x0/x->∞) ，必須注意，無窮大不是數，不可能與很大的數混為一談。

無窮大與無窮小有如下關系 。

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，那麼1/f(x)為無窮小，反之，如果f(x)為無窮小且f(x)≠0, 那麼1/f(x)為無窮大

證明：設lim f(x)=∞ (x->x0). ∀ε>0, 根據無窮大的定義， 對于M=1/ε, ∃δ>0, 當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)| > M = 1/ε, 即|1/f(x)| < ε, 所以1/f(x)為當x->x0是的無窮小。

反之, 設lim f(x)=0, 且f(x)≠0. ∀M>0, 根據無窮小的定義， 對于ε=1/M, ∃δ>0, 當0<|x-x0|<δ時，有|f(x)| < ε = 1 / M , 由于當0<|x-x0|<δ時f(x)≠0, 從而|1/f(x)|>M, 所以1/f(x)為當x->x0時的無窮大。

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