古文明是現代科學的啟蒙，是理性思維的源泉，而天文學與幾何學是古希臘文明的主導與核心，球面和圓錐截線的認識是古文明中幾何學的至高點反比例函數的圖象稱為雙曲線，用折紙或截面的操作方法可得到雙曲線。如圖，準備一張圓形紙片，并在圓外取一點F，然後折疊紙片，使F點落在大圓的圓周上，這樣不斷地折下去，這一系列折痕就構成了雙曲線的一個分支。

如圖，用平面去截一個雙頭圓錐，圓錐和平面相交所得的曲線有圓、橢圓、抛物線、雙曲線。橢圓、抛物線、雙曲線統稱為圓錐曲線，公元前200多年，古希臘人阿波羅尼斯就發現了這一現象。

雙曲線既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。正則圓，歪則橢，點點繁星，皎皎星光，發人深思，令人神遊，而太陽系永恒之舞的基本節奏與舞步卻是圓錐曲線。

公元1896年，挪威生理學家古德貝爾對閉眼打轉的問題進行了深入的研究。他收集了大量事例後分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長年累月養成的習慣，使每個人一隻腳伸出的步子，要比另一隻腳伸出的步子長一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差x，導緻了這個人走出一個半徑為y的大圈子！

現在我們來研究一下x與y之間的函數關系：

假定某個兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當人在打圈子時，兩隻腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓。設該人平均步長為l。那麼，一方而這個人外腳比内腳多走路程2π（y ｄ／２）-2π（y-ｄ／２）=2πd：另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數與步差的乘積，即：2πd=（2πy／２ｙ）x，化簡得y=2dｌ／ｘ。

對一般的人，d＝0．1米，1=0。7米，代入得（單位米）y=０．14／ｙ，這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式。今設迷路人兩腳差為0。1毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公裡的範圍内繞圈子！

上述公式中變量x，y之間的關系，在數學上稱為反比例函數關系。所謂反比例函數，就是形如y=k/x（k為常量）這樣的函數。它的圖象是兩條彎曲的曲線，數學上稱為等邊雙x曲線，在工業、國防、科技等領域都很有用場。

一、有關面積關系：

1.反比例函數圖像上任取一點A，然後過A點分别向x軸，y軸作垂線，垂足分别為為B、C，則矩形ABOC的面積始終等于k的絕對值。

2.反比例函數圖像上任取一點A，然後過A點向x軸作垂線，垂足為為B，則三角形ABO的面積始終等于k的絕對值的一半。

3.反比例函數圖像上任取兩點A，D，如圖，然後分别過A，D兩點分别向x軸y軸作垂線，垂足分别為B、C和E、F，設AB與DF交于點M，則在A、D運動過程中，矩形AMFC和矩形BMDE的面積始終相等。

4.反比例函數圖像上任取兩點A，C，如圖，然後分别過A，C兩點向x軸作垂線，垂足分别為B、D，設AO與CD交于點M，則在A、C運動過程中，三角形OCM和梯形ABDM的面積始終相等。

5.反比例函數圖像上任取兩點A，C，如圖，然後分别過A，C兩點向x軸作垂線，垂足分别為B、D，則在A、C運動過程中，三角形OCA和梯形ABDC的面積始終相等。

6.矩形ABOC的邊OC、OB分别在x軸y軸上，如圖，AB邊與反比例函數圖像交于點D，AC邊與反比例函數圖像交于點E，連接OA、OD、OE，則三角形OAD和三角形OAE的面積相等。

二、有關平行關系：

1.矩形ABCO的邊OC、OA分别在x軸y軸上，如圖，AB邊與反比例函數圖像交于點D，BC邊與反比例函數圖像交于點E，連接AC、DE，則DE∥AC。

2.反比例函數圖象上任取兩點A、B向坐标軸作垂線，然後連接垂足C、D或者E、F，則AB∥CD，AB∥EF.

三、有關線段關系：

1.反比例函數圖象與正比例函數的圖象交于A、B兩點，則OA=OB.

2.反比例函數圖象若與一次函數的圖象交于A、B兩點，與坐标軸交于點C、D，則AD=BC，AC=BD.

3.反比例函數圖象與正比例函數的圖象交于A、B兩點，過點A作y軸垂線，垂足為C，連接BC并延長交反比例函數的圖象于點D，連接AD，則DA=DC.

4.反比例函數圖象上任取一點A，過點A作y軸垂線，垂足為C，作AC的垂直平分線與反比例函數的圖象于點B，與x軸交于點D,連接AD、DC、CB、BA，則AD=DC=CB=BA（即四邊形ABCD是菱形）.

5.矩形ABCO的邊OC、OA分别在x軸y軸上，如圖，AB邊與反比例函數圖像交于點D，BC邊與反比例函數圖像交于點E，則AD:DB=CE:EB.

6.反比例函數圖像上任取兩點A、D兩點，分别過A點和D點作x軸和y軸的垂線，垂足分别為B和F，AB和FD交于點M，則FM:MD=BM:MA.

四、有關角的關系：

1.點A和點B是反比例函數圖像兩點，C點是x軸上一點，D點是y軸上一點，四邊形ABCD是平行四邊形，如圖，則∠1=∠2，∠3=∠4.

2.點A和點B是反比例函數圖像兩點，C點是x軸上一點，D點是y軸上一點，四邊形ABCD是平行四邊形，延長AD交x軸于點E，延長BC交y軸于點F，連接EF，如圖，則∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，四邊形DCFE為菱形。

3.點A和點B是反比例函數圖像兩點，直線AB與x軸交于點F，與y軸交于點E，連接AO并延長交反比例函數圖象的另一支曲線于點C，連接BC交y軸于點D，交x軸于G，則∠1=∠2，∠3=∠4，BD=BE，BF=BG。

例1.如圖，點A是坐标原點，點D是反比例函數y＝6/x（x＞0）圖象上一點，點B在x軸上，AD＝BD，四邊形ABCD是平行四邊形，BC交反比例函數y＝6/x（x＞0）圖象于點E．

（1）▱ABCD的面積等于　　，

（2）設D點橫坐标為m，

①使用m表示點C的坐标；

②使用m表示點E的坐标．（要有推理和計算過程）

（3）求CE：EB的值．

（4）求EB的最小值．

【解析】：（1）如圖，作DH⊥AB于H，設D（m，n）．

∵DA＝DB，DH⊥AB，∴AH＝BH＝m，

∵點D在y＝6/x上，∴mn＝6，

∴S平行四邊形ABCD＝AB•DH＝2mn＝12．

故答案為12．

（2）①由題意D（m，6/m），

由（1）可知AB＝2m，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝2m，

∴C（3m，6/m）．

在同一直角坐标系中的兩條不同的雙曲線，我們稱為"複式雙曲線"，如圖，已知反比例面數y=k₁/x和y=k₂/x，其中k₁>k₂>0，在第一象限内的圖象依次為曲線C₁，C₂，類比可提出若幹猜想。

台式鋼琴的弦與風琴的管，它們的外形輪廊是指數曲線。

解題是一個不斷提出相關問題的過程：由原問題出發，提出它的各種等價問題、特殊化問題、簡化問題、部分問題、必要條件等。

笛卡爾把他的想象拓展到音樂中，寫過論文《音樂簡編》、《音樂概要》，成為一個訓練有素的音樂家，自覺地把音樂和坐标系結合在一起，坐标系在音樂中沉醉，音樂在坐标系中歌唱。笛卡爾《音樂概要》。

歐幾裡得的《幾何原本》曾提到尺規作圖，所謂尺規作圖就是用無刻度的直尺和圓規，通過有限次的使用，畫出符合要求的圖形，古希臘人曾提出三個著名的作圖難題：三等分角問題、倍立方問題、化園為方問題這三個叙述簡潔、看似簡單的作圖問題，兩千多年來激勵着一代代數學家思考探索，最後被證明這三個問題不能由尺規作圖來解決。

音樂是淨化靈魏的工具。數學能把人類的思維活動升華到純淨和諧的境界。從開普勒和天體的"音樂"到愛因斯坦和他的小提琴，音樂和數學似乎有很密切的聯系《心靈的标符》試圖告訴人們什麼是數學、什麼是音樂，并揭示兩者之間深層的相似。

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