這是2022年高考理科數學全國甲卷的一道選擇題，介紹了沈括的《夢溪筆談》中收錄的一種求弧長的方法，叫做“會圓術”。

沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的傑作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”. 如圖，弧AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在弧AB上，CD⊥AB. “會圓術”給出弧AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB CD^2/OA. 當OA=2，∠AOB=60度時，s=

A. (11-3根号3)/2； B. (11-4根号3)/2； C. (9-3根号3)/2； D. (9-4根号3)/2.

分析：解決這個問題是非常容易的。連接OC，則O,C,D在同一直線上，因為三角形AOB是等腰三角形，C是底邊AB的中點，所以OC垂直于AB，又CD垂直于AB，過C隻有一條直線垂直于AB，所以三點共線。

因為圓心角等于60度，所以△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=2，OC=根号3 OA/2=根号3，

∴CD=OD-OC=2-根号3. 将AB，CD，OA代入公式，就可以求得：

s=AB CD^2/OA=2 (2-根号3)^2/2=(11-4根号3)/2, 選B.

了解老黃的小夥伴們就會知道，老黃不會隻是為了解決問題本身而已。

第一個問題，“會圓術”的結果準确嗎？精确度怎麼樣？

我們可以用現代用來求弧長的公式求一求：s=nπr/180=πOA/3=2π/3≈2.10.

而會圓術求得的結果是(11-4根号3)/2≈2.04. 誤差是：2.04-2.10≈-0.06. 可見，這個誤差還是有點大的。

第二個問題，古人是怎麼得到會圓術的呢？為此，老黃用現代表示公式的方法，把會圓術的弧長公式表示為：s=根号(2r^2-2r^2cosn) (r-rcos(n/2))^2/r.

其中AB=根号(2r^2-2r^2cosn)，CD=r-rcos(n/2), OA=r. 并且對它進行化簡，有下面兩種形式：

s=2rsin(n/2) r(1-cos(n/2))^2=r(2sin(n/2) 4(sin(n/4))^4). 一會兒用哪個形式分析簡便，就用哪個形式。接下來檢驗幾個特殊角度：

當n=2π時，s=4r<2πr (結果是非常不準确的);

當n=π時，s=3r<πr (雖然還是不準确，但比整圓已經準确很多了)；

當n=π/2時，s=3r/2(明顯結果越來越準确了，因此可以猜想：圓心角越小會圓術求得的弧長越準确).

為此，老黃将原題求60度的弧長，改成求兩個30度的弧長。看看是否準确一些。

當n=30度時，s/2=2根号(2-根号3) 2(1-根号(根号3/2 1)/根号2)2=(化簡略)…≈1.038, 化簡過程是相當複雜的，因此老黃把化簡過程略去了。

現在x≈2.08, 誤差：2.08-2.10≈-0.02. 顯然，誤差變小了。但是是否就可以下結論：圓心角越小，"會圓術"得到的弧長就越準确呢？當然還不行了。如果想把這個猜想當作定理，就需要有一個普遍性的證明，不能通過檢驗特殊角度，就下這樣的結論。

為此，老黃記f(x)=|2sin(x/2) 4(sin(x/4))^4-x|, x∈[0,2π]. 它表示單位圓内，用會圓術求得的弧長與現代公式求得的弧長的絕對誤差。不知道你有沒有疑惑，為什麼老黃用x直接表示現代公式求得的弧長。

這個問題也困擾了老黃好幾個小時。因為老黃在使用求弧長的現代公式，一直用x表示角度，代進函數中，怎麼分析都要出錯。最後老黃得到了一個基本事實：函數中，不能同時存在弧度和角度，為了避免産生混亂，盡可能使用弧度。因此，x就直接表示弧長了。這一點是非常重要的哦。

現在我們取誤差函數g(x)=2sin(x/2) 4(sin(x/4))^4-x，并且對它求導，得到：

g’(x)=cos(x/2) 4(sin(x/4))^3cos(x/4)-1=cos(x/2) 2(sin(x/4))^2sin(x/2)-1

=cos(x/2)-(1-2(sin(x/4))^2)sin(x/2) sin(x/2)-1=(cos(x/2)-1)(1-sin(x/2))<0, 這個化簡過程還是相當有技術含量的。

可見g(x)單調遞減，所以g(x)<g(0), 從而f(x)=-g(x)>0且單調遞增。換句話說，就是f(x)在[0,2π]上，角度越大，絕對誤差就越大。反之，角度越小，絕對誤差就越小。猜想得證！

現在想一想，古人是怎麼得到會圓術的。對圓進行分割，分割到的角度越小，得到的弧長就越準确，那不就是割圓術嗎？所以會圓術，其實就是割圓術的一個産物。不知道老黃這麼說對不對，你說的呢！

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