從e的極限定義開始：
我們把它看成是r和s兩個變量的實函數，用有理數r/s替換整數n。
r與s的比值越大，對e的近似就越好。
這個表達式可以用子函數f(x)替換r，用子函數g(x)替換s，從而把它重新定義為單變量複合函數。如果f(x)和g(x)是單調的和發散的，并且
那麼：
現在，如果我們用适當的三角函數賦值f(x)和g(x)，例如，我們可以設f(x)=cos(θ)，g(x)=sin(θ)。當θ趨于π時，cos(θ)趨于-1，sin(θ)趨于0。雖然函數在θ=π處沒有定義，但我們發現：
為了評估這類表達式的相對收斂速度，我們可以通過将θ替換為π±1/x，然後計算當x趨于無窮時的表達式，從而得到它們各自的幂級數。在這種情況下，當θ向右接近π時，我們有一個一階近似：
輸入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前32位：
2.7182818284590452353602874713526
現在我們看看讓函數f(x)=cot(θ)，g(x)=tan(θ)會發生什麼。當θ向右趨于π時，cot(θ)趨于負無窮，tan(θ)趨于0。當θ向左趨于π時，cot(θ)趨于正無窮，tan(θ)趨于0。将這些函數代入，并使用三角恒等式：
從左接近π，得到一個二階近似：
輸入π的前32位：
3.1415926535897932384626433832795
得到e的前64位：
2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627
下面的一階表達式有一個有趣的性質，它除了收斂于e之外（ θ→π時），在5π/4處收斂于根号2，在3π/2處收斂于1。
另外，三角函數替換并不是唯一方法。例如，隻需稍加操作，我們就可以得到這個無限乘積：
當然，用π來計算數字e不是很實用。如果有筆和紙，那麼用無窮級數會容易得多。盡管如此，這些表達式在幾個世紀以來一直令數學家着迷，兩個數字之間竟有一種意想不到的聯系。
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