有多少個實數？康托對連續體大小的探究激發了現代集合論的驚人發展，并影響着哲學辯論，一直持續到今天。

什麼是連續統假設？簡單地說，連續統假設是關于某些無窮數的表述，即所謂的基數。有限基數我們非常熟悉：0，1，2，3，…他們回答了“有多少？”的問題，如“這個方程有多少個解？”或者“這個集合有多少個元素？”

事實證明，有限的基數是不夠的，一個方程可能有無窮多個解，一個集合可能包含無窮多個數。乍一看，似乎答案是一個“數量”，在這種情況下，就是無窮多個。然而，康托在1879年證明了，證明了實數比自然數要多。

實數的集合和自然數的集合都是無限的。那麼我們怎麼能說實數比自然數多呢？康托證明了不可能把每個實數都分配給每個自然數。換句話說，每次這樣的賦值都會留下許多實數未賦值。(從數學上講，沒有從實數到自然數的映射。)

這一發現具有重大意義，至少存在兩個不同的無窮大，一個比另一個大。而且，事實證明無限數比有限數多得多。無限基數（超限基數）用希伯來字母א‎表示。

最小的無限基數是א‎0。這正好是自然數集合的大小。下一個更大的基數是א‎1，然後是א‎2，א‎3，以此類推。‎實數集合的基數是多少？康托在他著名的連續統假設中闡述了一個可能的答案。這是一種說法：

每一個無限實數集合要麼是自然數的大小，要麼是實數的大小。

連續統假設實際上相當于說實數的基數為א‎1。如果連續統假設是假的，這意味着存在一組實數比自然數大但比實數小。在這種情況下，實數集的基數必須至少為א‎2。

多年來，數學家們試圖确定連續統假說是對還是錯。這個問題非常緊迫，以至于大衛·希爾伯特在1900年發表的23個問題列表中，把它列在了第一位。但直到20世紀30年代才取得重大進展。

哥德爾在1938年證明了連續統假設與集合論的ZFC公理是一緻的。哥德爾表明，在這些公理中加入連續統假設并不會産生矛盾。這還遠遠不能證明連續統假設是正确的。這種證明将描述連續統假設的真理如何遵循集合論的公理。

ZFC系統中有下列10條非邏輯的集合論公理：即外延公理、對偶公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、無窮性公理、選擇公理、替換公理和正則公理。——百度百科

哥德爾通過構造一個集合論的世界來證明他的一緻性結果，在這個世界中連續統假設是正确的，即所謂的可構造全集（可構造集全域）。從這個全集的存在，我們可以了解更多關于連續統一體假設的情況。假設有證據證明集合論的公理，連續統假說是錯誤的，由于集合論的公理在哥德爾的可構造全集中成立，因此在這個全集中連續統假設必然是錯誤的。但是哥德爾證明了這是正确的，因此産生了矛盾。

哥德爾的一緻性結果因此意味着無法證明連續統假設是錯誤的。但我們能找到證據證明它是正确的嗎？

人們又花了将近30年的時間才回答了這個問題。保羅•科恩在20世紀60年代證明，連續統假說是錯誤的，這與集合理論的公理是一緻的——他因此在1966年獲得了菲爾茲獎（Fields Medal），這是數學家的最高榮譽之一。

為了證明這一結果，科恩發明了一種構造集論宇宙的新方法。利用這種方法，他構造了一個集論宇宙，其中連續統假設是錯誤的。就像在哥德爾的例子中一樣，這個結果意味着從集合論的公理中無法證明連續統假設是正确的。

這給我們帶來了什麼？結合哥德爾和科恩的這些結果，我們知道，從集合論的公理中，既不能證明連續統假設是正确的，也不能證明連續統假設是錯誤的。也就是說，連續統假設獨立于集合論的公理：這些公理沒有強大到決定連續統假設是真還是假。

我們能解決連續統假說嗎？

直到今天，哥德爾和科恩的研究影響了當代集合理論和圍繞它的哲學辯論。每天，集合理論家都在利用哥德爾和科恩開發的方法建立新的集合理論全集。但這隻是數學方面的。

一場至關重要的哲學辯論仍在進行，康托的連續統問題的答案是什麼？連續統假設是正确的嗎？畢竟，哥德爾和科恩的結果隻是表明，不可能從集合論的ZFC公理中找到證明。所以也許答案還在外面？

一些集合理論家相信他們可以找到集合理論的新公理，這将允許數學家解決連續體假說。這些集合理論家相信，隻有一個真正的數學宇宙。在這種宇宙觀下，每個數學命題要麼是對的，要麼是錯的。所以，為了了解連續統假設是否正确，我們隻需要找出更多關于這個數學現實——數學宇宙的信息。

并不是所有的理論家都相信剛才描述的宇宙觀。牛津大學邏輯學教授喬爾·哈姆金斯（Joel Hamkins）認為，有許多同樣重要的集合論宇宙。由哥德爾和科恩開發的方法，以及世界上其他許多人進一步發展的方法，允許集合理論家窺視到迥然不同的數學宇宙。根據哈姆金斯的理論，所有這些宇宙共同構成了集合論的多元宇宙。

在這個多元宇宙的觀點中，真正的集論宇宙不是一個，而是很多。在某些宇宙中，連續體假說是正确的。在另一些情況下，這是錯誤的。哈姆金斯因此認為連續性問題得到了解答：

我認為，連續統一體假說是基于多元宇宙的觀點，我們對多元宇宙的行為有廣泛的了解。——喬爾·哈姆金斯

集合理論家已經積累了廣泛的知識，關于連續統假設如何在集合理論的許多不同的宇宙中表現。他們能準确地理解什麼時候是對的，什麼時候是錯的，以及連續體的大小。在哈姆金斯看來，這些知識構成了連續統一體問題的答案——它不是簡單的“是”或“不是”。

你覺得呢？我們應該找出連續統一體假說是對還是錯？還是我們已經知道了所有該知道的東西？連續體假說仍然是當代集合理論中最激動人心的争論之一。

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