有時候

根本不存在

首先，我們先來看看這個數的倒數：

·倒數

其實矩陣的逆矩陣也跟倒數的性質一樣，不過隻是我們習慣用A^-1表示：

問題來了，既然是和倒數的性質類似，那為什麼不能寫成1/A？

其實原因很簡單，主要是因為矩陣不能被除。不過 1/8倒可以被寫成 8^-1。

那矩陣的逆和倒數還有其他相似之處嗎？

• 當我們将一個數乘以它的倒數我們得到1。

8 × (1/8) = 1

• 當一個矩陣乘以逆時，我們得到了單位矩陣（而單位矩陣，其實也就是矩陣中的“1”）。

A × A^-1=I

• 而此時我們将矩陣的逆放在前面，很明顯，結果還是一樣的

(1/8) × 8 = 1

A^-1× A =I

模友：超模君，剛才講的“單位矩陣”是什麼意思，你還沒說明呢

超模君：别急，慢慢來！關于單位矩陣，其實就是一個相當于數字“1”的矩陣：

·3x3的單位矩陣

那怎樣的矩陣才是單位矩陣呢？

①它是“正方形”（行數與列數相同）；

②它的對角線上的數字都是1，其他地方都是0。

• 那問題來了，我們該如何去計算矩陣的逆呢？

換句話說：交換a和d的位置，将負數置于b和c的前面，并将所有事物除以行列式（ad-bc）

舉個栗子：

不過該如何去判斷這是正确的答案呢？

那這個時候就要用到我們最開始講的公式：

A × A^-1=I

所以，讓我們檢查一下，當我們将矩陣乘以矩陣的逆時，會是怎樣的？

嘿嘿嘿嘿！我們最終得到了單位矩陣！

留個作業：試試這樣，能不能得到單位矩陣呢？

其實，在了解矩陣的過程中，總是會有個疑問：為什麼我們需要矩陣的逆呢？

其主要原因是：矩陣沒辦法被除。（這個時間各位模友可以回想一下：是不是從來都沒看過矩陣被除）

換句話說，矩陣根本就沒有被除的概念。

而矩陣的逆，正好是被我們用來解決“矩陣除法”的問題。

各位模友，假如我們沒有“除法”這個規則，那當有人問你“如何把10分蘋果平分給兩個人”。

想到怎麼解答沒？

那我們是不是可以采取2的倒數（1/2=0.5）來計算，那答案就很清晰啦：

10 × 0.5 = 5

也就是每個人5個蘋果。

那我們是不是也可以将同樣的方法應用到矩陣上呢？

那故事就這麼開始了，我們知道矩陣A和矩陣B，并且想要找到矩陣X。

XA = B

那最好的方法就是直接除以A（得到X = B / A），但事實上我們不能直接除以矩陣A。

但是我們卻可以在公式兩邊都乘以AA^-1=I:

XAA^-1= BA^-1

因為我們都知道AA^-1=I，所以也就能得到

XI = BA^-1

而此時單位矩陣I我們是可以直接去掉的，也就能得到：

X = BA^-1

所以呢，此時我們隻要知道怎麼計算A^-1，那就可以直接算出矩陣X（而對于計算A^-1早已解決）。

丢個栗子：

有一個幾個家庭組團出去旅行，出發的時候是乘坐大巴，每位兒童3元，每個大人3.2元，一共花費了118.4元。

在回程時，他們選擇乘坐火車，每名兒童3.5元，每名成人3.6元，總計135.20元。

那問題來了，這裡邊有多少個小孩和大人呢？

雖然這道題用線性方程組來解很簡單，但這次我們嘗試用矩陣思維來解答。

首先，我們設置好矩陣（此時要注意好矩陣的行和列是否正确）：

那我們根據公式：

XA = B

要解決這個問題，那也就是得到矩陣A的倒數：

現在我們可以使用以下方法來解決：

X = BA^-1

結果很明顯，一共有16個孩子和22個大人！

• 那問題來了，矩陣的逆到底有什麼用？

事實上，像這樣的計算其實非常有利于工程師設計建築物，視頻遊戲和計算機動畫等許多地方。

此外，它也是解決線性方程組的一種方法。

雖然求矩陣的逆，隻要打開MATLAB, 輸入inv(A)。

但超模君這裡就要插一句話：

雖然這個過程是由計算機完成，但我們還是有必要去了解公式，因為這正是數學的美妙之處！

本文由超級數學建模編輯整理

部分資料來源于“mathisfun”

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