關于數的運算的知識是人們在日常生活和生産實踐的經驗中抽象出來的，并且逐漸形成了“法則”。數的運算法則是重要的，如果讓人類重新開始建立數學，那麼，建立起來的新的數學會有多少與現在的數學是一樣的呢？大概運算的法則是一樣的，其他的就不好說了。在四則運算法則的抽象中，第二步抽象的結果在形式上是美妙的，但第一步抽象卻更為重要，因為第一步抽象發現的是真的知識，而第二步抽象是合理地表達了新的知識。加法是“ 1”的複合，即從1 1出發，可以推導出所有自然數的加法。乘法在本質上是一類特殊的加法，是數自相加的縮寫。減法是加法的逆運算，減法是通過加法來定義的。除法是乘法的逆運算，是通過乘法來定義的。第一個有意識地使用字母來表示抽象運算的是法國數學家韋達，人們可以像對“數”那樣對“符号”進行運算，并且，通過符号運算得到的結果是具有一般性的。

加法法則的抽象過程分析

與數的符号表示一樣，關于數的運算的知識也是人們在日常生活和生産實踐的經驗中抽象出來的，并且逐漸形成了“法則”。加法是所有運算的基礎，我們先讨論加法法則是如何被抽象出來的。

一．抓住本質

我們已經談到，數量的本質是多與少，而多與少的最簡單形式是多一個或者少一個，正如《老子》中所說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，因此，加法的核心是加1。

從1 1出發，可以推導出所有的自然數的加法，比如2 2=4。據彭加勒的著作《科學與假設》一書記載，下面的證明是德國哲學家，數學家萊布尼茨給出的。

證明：從1出發，對于給出的自然數數a，規定a 1為a後面的序數，比如

1 1=2，2 1=3，3 1=4

因為a 2=(a 1) 1

所以2 2=(2 1) 1

=3 1

=4

但是，正如彭加勒所說，這不是真的證明，這不過是驗證而已。萊布尼茨的工作還隻是經驗基礎上的推理，如果要明确地表述加法，還需要進一步的抽象。

二．給出一般

經過幾千年對于加法運算的使用，人們最終希望能夠給出嚴格的表述，這就需要建立起在符号意義上的算律。18世紀最偉大的數學家歐拉做了許多基礎性的工作，後來，意大利邏輯學家，數學家皮亞諾建立了自然數的序數理論。

現在我們定義加法運算。令N是由自然數的全體構成的集合，顯然1∈N。回憶我們對自然數的定義：是那些能夠由小到大進行排列的符号。因此，基于“ 1”的經驗，對a,b∈N規定運算a b表示在a的後面增加b哥的序數，如果這個序數為c，則稱c為a與b的和，求和的運算叫做加法，記為a b=c。可以驗證加法運算滿足下面三條:

1. 封閉性：如果a,b∈N，則a b∈N

2. 交換律：a b=b a

3. 結合律：(a b) c=a (b c)

第一條表示自然數集N對于加法運算是封閉的，後兩條被稱為算律，也是人們從長期使用加法的經驗中抽象出來的。下面我們來驗證結合律：按照定義，一個數 (b c)是在這個數的後面增加(b c)個的序數，也就是先增加b個再增加c個的序數，因此有

a (b c)=(a b) c

這說明結合律是成立的。

但也有許多學者對這種形式化了的運算表示不滿。例如德國數學家亥姆霍茲在他的《算與量》中說道，隻有經驗才能告訴我們算術的加法法則可以用在哪裡，比如：一個雨滴與另一個雨滴相加并不能得到兩個雨滴；兩份等體積的水混合，一份溫度為40度，一份溫度為50度，但是不可能得到溫度為90度的水。法國大數學家勒貝格則更為調侃道，你把一頭獅子和一隻兔子關在一個籠子裡，最後籠子裡絕不會還有兩隻動物。

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