動點軌迹問題、最值問題曆來是中考的難點和熱點。學生需要在考場短時間思考出動點的運動軌迹确實不是一件容易的事情，如果平時不能有對圖形本質的理解和把握，很難在考試中解決此類問題。

在初中階段，我們會遇到兩種軌迹問題，一個是圓弧，一個是線段。它們分别對應不同的知識點。圓弧上的點到定點的距離等于定長，線段上的點到直線的距離也等于定長。但是在實際的考查過程中，我們往往不是事先知道動點所形成的軌迹。而需要我們結合題目中的條件，來分析出問題是不是軌迹問題，是哪種軌迹問題，它們常見的處理方法又是什麼呢？

首先我們先給軌迹下個定義，簡單的說就是：動點在空間或者平面内移動，它所通過的全部路徑叫做這個點的軌迹。我們在理解這個定義時，可從下列幾個方面考慮：(1)符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌迹。(2)凡在軌迹上的點都符合給定的條件，這叫做軌迹的純粹性(也叫做必要性)。(3)另外凡不在軌迹上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌迹上，這叫做軌迹的完備性(也叫做充分性)。

初中階段會接觸到的曲軌迹一般是圓或者圓弧，比如旋轉問題中；當然動點也可能在雙曲線或者抛物線上運動，這都屬于曲軌迹。

類型1 圓的問題中隐含圓的軌迹問題

1．如圖，扇形AOD中，∠AOD＝90°，OA＝6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD于Q，點I為△OPQ的内心，過O，I和D三點的圓的半徑為r．則當點P在弧AD上運動時，r的值滿足（　　）

A．0＜r＜3 B．r＝3 C．3＜r＜3√3 D．r＝3√2

【分析】連OI，PI，DI，由△OPH的内心為I，可得到∠PIO＝180°﹣∠IPO﹣∠IOP＝180°﹣1/2（∠HOP ∠OPH）＝135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO＝∠PIO＝135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優弧AO取點P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O＝180°﹣135°＝45°，得∠DO′O＝90°，O′O＝3√2．故選：D．

2．如圖，在⊙O中，弦AD等于半徑，B為優弧AD上的一動點，等腰△ABC的底邊BC所在直線經過點D．若⊙O的半徑等于1，則OC的長不可能為（　　）

A．2﹣√3 B．√3﹣1 C．2 D．√3 1

【解析】利用圓周角定理确定點C的運動軌迹，進而利用點與圓的位置關系求得OC長度的取值範圍．如圖，連接OA、OD，則△OAD為等邊三角形，邊長為半徑1．作點O關于AD的對稱點O′，連接O′A、O′D，則△O′AD也是等邊三角形，邊長為半徑1，

3．如圖，在△ABC中，AC＝4√3，BC＝9，∠ACB＝60°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連BP交△APC的外接圓于點E，則AE的最小值為________．

【解析】：如圖，連接CE．

∵AM∥BC，∴∠MAC＝∠ACB＝60°，

∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，

4．（2020•武漢模拟）如圖，⊙O的半徑為1，點D為優弧AB上一動點，AC⊥AB交直線BD于C，且∠B＝30°，當△ACD的面積最大時，∠BAD的度數為_______．

【解析】連接OA、OD，如圖，根據圓周角定理得到∠AOD＝2∠B＝60°，則△OAD為等邊三角形，所以AD＝OA＝1，而∠C＝60°，利用圓周角定理可判斷點C在AD為弦，圓周角為60°的弧上運動，根據三角形面積公式，當C在弧AD的中點時△ADC的面積最大，此時∠CAD＝60°，從而得到∠BAD＝30°．

類型2 非圓問題中隐含圓的軌迹問題

5．（2019秋•羅湖區期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝30，點E，F分别是AB，BC邊上的兩個動點，且EF＝10，點G為EF的中點，點H為AD邊上一動點，連接CH、GH，則GH CH的最小值為_______．

【解析】：由已知，點G在以B圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運動．作C關于AD的對稱點C′，連接C′B，交AD于H，交以D為圓心，以5為半徑的圓于G。由兩點之間線段最短，此時C′B的值最小

則GH CH的最小值＝50﹣5＝45，

故答案為：45．

6．如圖，點C是線段AB上的動點，分别以AC、BC為邊在AB的同側作等邊△ACD、等邊△BCE，BD、AE交于點P．若AB＝6，則PC的最大值為______．

【解析】首先證明△ACE≌△DCB，再證明PC平分∠APB，且∠APB＝120°，作△APB的外接圓，延長PC交△APB的外接圓于點Q，

∵∠APB＝120°是定值，∠APQ＝∠BPQ＝60°，

∴QA＝QB，點Q是定點，∴當PQ⊥AB時，PC的長最大，

此時PA＝PB，AC＝BC，PC＝AC•tan30°＝3×√3/3＝√3．

故答案為√3．

7．如圖，在三角形ABC中，AC＝3，BC＝4√2，∠ACB＝45°，AM∥BC，點P在射線AM上運動，連接BP，D為線段BP上一點，且∠CDP＝∠CAP，F為AC上一點，則FD BF的最小值為______．

【解析】：如圖，作線段BC的垂直平分線，垂足為Q，在線段BC的垂直平分線上取一點O，使得OQ＝BQ＝CQ，以O為圓心，OB為半徑作⊙O，交直線OQ于E，連接EB，EC，OC，OB．

∵∠BEC＝1/2∠BOC＝45°，

∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，∴∠PDC＝45°，

∵AM∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝45°，∴∠PDC＝∠PAC，

∴點D在弧BC上運動，作點B關于AC的對稱點B′，連接CB′，OB′，FB，作B′H⊥OQ于H．

∵FB DF＝FB′ DF．

∴當D，F，B′共線時，BF DF的最小值為線段DB′的長，

8．（2019秋•清江浦區期末）（1）【學習心得】

于彤同學在學習完"圓"這一章内容後，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點，且AD＝AC，求∠BDC的度數．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝______°．

（2）【問題解決】

如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的數．

（3）【問題拓展】

如圖3，如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是______．

【解析】：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，

∴以點A為圓心，點B、C、D必在⊙A上，

∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，

∴∠BDC＝1/2∠BAC＝45°，

故答案是：45；

（2）如圖2，取BD的中點O，連接AO、CO．

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴點A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，

（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，

易證△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，

易證△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，

∵∠BAH ∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1 ∠BAH＝90°，

∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，

取AB的中點O，連接OH、OD，

圓的軌迹問題常涉及到三個知識點

1、動點到定點的距離為定值

2、對角互補的四邊形四點共圓

3、定線段所對動角為定值（常考：直徑所對圓周角為90°）

題目中一般沒用明确給出（隐形圓）：即動點所在的路徑題目中并沒有明确交代，需要同學們有先自我判斷的意識，既然點在運動，那麼其必然在某條确定的軌迹上運動，不管題目有沒有交代。這類題目比較難，常見的有（定邊定角 類型、定高定角類型、折疊最值問題，雙定邊手拉手問題等與輔助圓有關的模型）。

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