在這篇文章中，我想讨論最早的一個問題，它完全改變了我對數學的看法。這個問題來自2009年的英國數學奧林匹克競賽。問題内容如下。

找出所有非負整數a和b，使得：

在研究解這個題目的方法之前，我想解釋一下為什麼我這麼喜歡這個問題，這隻需要初等水平的算術知識便能解決。我喜歡偵探小說，能夠根據一些零散的信息構建一個解決方案，對我來說幾乎是一種超能力。

現在回想起來，一開始我隻是認為數學隻是為了完成一項工作，僅此而已。無論是計算稅款，還是計算建築材料的抗拉強度，我都明白數學是有目的的，但它似乎隻是關于知道正确的公式以及如何應用它。 對于一些人來說，他們仍然是這樣看待數學的。對我來說，現在我把每個數學問題都看成是一個謎。一個有待解決的謎團。

讓我們開始解決這個問題。大多數人采取的第一步是将方程的兩邊平方。這是我們在解涉及平方根問題時被教導要做的事情。這也是我一開始所嘗試的。

這樣也許會好一點。我們減少了平方根的數量，這很好，但我們也給自己增添了另一個問題。這是這個問題教會我的第一件事。有時候，在直接應用一個看起來正确的方法之前，要問自己。

• 這确實是你所知道的解決這個問題的最佳方法嗎？
• 如果這是你知道的最好的方法，這個問題的設置是否是你應用它的最佳方式？

讓我在這裡詳細說明一下。我們所做的事情沒有錯。然而，在對方程進行平方運算時，我們加入了變量根号（ab）。這給我們帶來了困難，因為我們現在無意中把變量a和b所提供的信息混為一談。

如果我們首先将方程重新排列為：

然後我們可以再次對兩邊進行平方，這一次我們得到了：

注意，這一次我們又減少了平方根的數量，但我們又把變量a和b分開了。這似乎隻是一個簡單的區别，但它對我們如何進行接下來的操作有很大的影響。我們現在注意到這樣一個事實，即我們新方程的所有項顯然都是整數，除了2根号(2009b)。

下面是我從這個問題中學到的第二件事，即演繹推理。既然我們知道兩個整數相加或相減的結果總是一個整數，而且我們可以把方程改寫為：

我們可以推斷出2根号(2009b)确實是一個整數。這是一個巨大的線索。

很少有數字的平方根會得到一個整數（事實上，如果你随機選擇一個數字，它具有這種性質的概率為0，這個事實需要另一篇文章來解釋）。

那麼，我們怎樣才能利用這一點呢？首先，我們将嘗試将其進一步分解。把它看成是提煉你的信息中那些對你現在沒有好處的 "多餘的東西"。我們首先注意到：

因此，我們可以說：

所以，既然根号(2009b)是一個整數，那麼我們一定有√(41b)是一個整數。因此，我們已經将我們的線索提煉成了一個更清晰的信息。

既然我們已經把信息提煉成最清晰的形式，接下來我們就把它拆開。特别是，我們問自己，"根号(41b)是個整數 "到底是什麼意思。這意味着對于某個整數c，我們必須得到41b=c^2，但是根号(41)不是整數，所以隻有當b=41d^2時（對于某個整數d），這個式子才有意義，因為這允許我們寫出41b= (41d)^2。這就是我們最後的、最能說明問題的信息。非負數b必須是這種形式：

• 對于某個整數d。

把根号(b)移到原方程中的等号上并沒有什麼特别之處，我們可以很容易地從方程開始計算：

而且一切都會以完全相同的方式進行。特别是，我們會得出類似的結論：對于某個整數e，a=41e^2。我們把這稱為對稱論證，實際上，我們所要說的是，既然很明顯一切都會完全一樣，如果我們用變量a替換變量b，我們就不願意再寫下論證，而是直接跳到結論。

所以我們現在總共有以下信息（線索）。

事實上我們可以得出結論，由于a和b是非負整數，所以d和e也是非負整數。

因此，回到我們的原始方程，我們要填入這些線索，并試圖得到一些我們之前無法得到的新東西。對我來說，這就像偵探回到嫌疑人身邊，原本他應該是什麼都不知道的，但現在偵探有了證據，嫌疑人開始出現破綻。

回到原來的方程，我們就有了下面的結果。

這當然是一個更容易解的方程。這個方程的d和e隻有非常少的解。

由此，并回顧一下a=41e^2和b=41d^2，我們可以得到全部可能的解.

就這樣，又一個謎團被“數學偵探”解開了。

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