第十二章數學函數?一、二次函數的性質1.二次函數：形如的函數，叫做二次函數，今天小編就來聊一聊關于第十二章數學函數?接下來我們就一起去研究一下吧!

第十二章數學函數

一、二次函數的性質

1.二次函數：形如的函數，叫做二次函數。

2.二次函數和的性質。

（1）當時

<1>開口方向及其大小： a>0，開口向上，并向上無限延伸；a<0，開口向下，并向下無限延伸；|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大。

<2>對稱軸：直線x=0（y軸）

<3>頂點坐标：（0，0）

<4>增減屬性：

a>0：x>0時，y随x的增大而增大；x<0時，y随x的增大而減小。

a<0：x>0時，y随x的增大而減小；x<0時，y随x的增大而增大。

<5>最值：

a>0：當x=0時，，最低點為頂點（0，0）.

a<0：當x=0時，，最高點為頂點（0，0）.

（2）當時

<1>開口方向及其大小： a>0，開口向上，并向上無限延伸；a<0，開口向下，并向下無限延伸；|a|越大，開口越小；|a|越小，開口越大。

<2>對稱軸：直線x=h

<3>頂點坐标：（h，k）

<4>增減屬性：

a>0：x>h時，y随x的增大而增大；x<h時，y随x的增大而減小。

a<0：x>h時，y随x的增大而減小；x<h時，y随x的增大而增大。

<5>最值：

a>0：當x=h時，，最低點為頂點（h，k）.

a<0：當x=0時，，最高點為頂點（h，k）.

3.二次函數的性質

函數

(1)當a>0時：

<1>開口方向：向上

<2>對稱軸：

<3>頂點坐标：()

<4>增減屬性：當時，y随x的增大而減小；當時，y随x的增大而增大。

<5>最值：當時，.

(2)當a<0時：

<1>開口方向：向下

<2>對稱軸：

<3>頂點坐标：()

<4>增減屬性：當時，y随x的增大而增大；當時，y随x的增大而減小。

<5>最值：當時，

4.求抛物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：,頂點坐标()，對稱軸是直線.

（2）配方法：運用配方的方法,将抛物線的解析式化為的形式,得到頂點坐标為(h,k),對稱軸是直線x=h.

（3）運用抛物線的對稱性：由于抛物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以關于對軸對稱的兩點的連線的垂直平分線是抛物線的對稱軸,對稱軸與抛物線的交點是頂點.

5.二次函數與a，b，c的關系

（1）a：a>0，開口向上；a<0，開口向下。

（2）b：b=0，對稱軸為y軸；ab>0(a，b同号)，對稱軸在y軸左側；ab<0(a，b異号)，對稱軸在y軸右側。

（3）c：c=0，圖象過原點；c>0，與y軸正半軸相交；c<0，與y軸負半軸相交。

（4）：=0，與x軸有唯一交點(頂點)；>0，與x軸有兩個不同的交點；<0，與x軸無交點。

6.用待定系數法求二次函數的解析式

（1）設一般式：.

（2）設頂點式：.

（3）設交點式：.

7.抛物線的平移

（1）抛物線的圖象與的圖象形狀相同，位置不同。

把抛物線的圖象向左(>0)或向右(<0)平移||個單位；再向上(>0)或向下(<0)平移||個單位可得到的圖象。

（2）抛物線與形狀相同，位置不同。

把抛物線向上(>0)或向下(<0)平移||個單位；再向左(<0)或向右(>0)平移||個單位可得到的圖象。

二、二次函數與一元二次方程

1.如果與軸有公共點，公共點的橫坐标是，那麼當=時，函數值是0，因此=是方程的一個根。

2.一元二次方程與二次函數二者之間的内在聯系與區别(>0)。

(1)一元二次方程：

<1>>0：.

<2>=0：.

<3><0：沒有實根。

(2)抛物線與x軸的交點個數：

<1>>0：抛物線與x軸有兩個交點()和().

<2>=0：抛物線與x軸隻有一個交點(-,0).

<3><0：抛物線與x軸沒有交點。

三、實際問題與二次函數

基本思路：

（1）理解問題；

（2）分析問題中的變量和常量，以及它們之間的關系；

（3）用函數關系式表示它們之間的關系；

（4）用數學方法求解；

（5）檢驗結果的合理性。

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