著名數學家歐幾裡德被認為是将幾何公理化的第一人，他描述了支配這個世界的幾何規則，并且基于這些公理來證明定理——這是數學史上最早使用證明的情形之一。

歐幾裡得把這些内容都寫在《幾何原本》一書中，雖然很可能是對他所處時代幾何知識的總結，但依然是有史以來最有影響力的教科書，其邏輯、公理化的方法和嚴格的證明仍然是數學的基石。

▲ 歐幾裡得平面幾何的五條公設

歐幾裡得對現代數學最顯着的影響之一是對平行公設的讨論。在第一卷中，歐幾裡得列出了五個公設，其中第五條就是平行公設，叙述如下：

• 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的内角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

十九世紀，法國數學家阿德裡安-馬裡·勒讓德證明這一公設等價于如下表述：

• 三角形内角和等于兩個直角。

對于平行公設，歐幾裡得描述得明顯要比前四條複雜。在他之後的兩千年裡，許多專業和業餘的數學家嘗試證明第五公設可由前四條公設推理得到并都以失敗告終。

第五公設成立的幾何被稱為“歐幾裡得幾何”或“平面幾何”，它的定義特征是三角形内角和總是 180°。

荷蘭著名版畫藝術家知名藝術家埃舍爾(Escher)對幾何尤為着迷。在下面的圖片中，他描繪了一幅由天使與惡魔拼接而成的平面幾何圖案。

直到 1829 年，第五公設不成立而其餘公設成立的幾何例子最終才被俄羅斯數學家尼古拉·羅巴切夫斯基發現。事後再來看，數學家曆經這麼長時間才得出這一發現，忽略掉了一個常見的例子。它就是球體表面的幾何，稱為“球面幾何”。

▲ 一個大圓将球體分成兩個相等的半球，大圓線是連接球面上兩點最短的路徑所在的曲線(圖自維基@jhbdel)

在球面幾何(Spherical geometry)裡，這裡歐幾裡得的直線不再是“直線”，因為球面上兩點之間的最短距離是在大圓(Great circle)上的一段弧。球體是曲面，這樣三角形内角和總是 180° 這一結論不再成立，比如在球面上既是非常小的三角形的内角和也會略大于 180°(但局部區域按照平面歐幾裡得幾何的定律還是很好的近似方法)，而更大的三角形會有更大于 180° 的内角和。

▲ 球面三角形的内角和不等于180°(圖自維基@Lars H. Rohwedder)

數學家花了很長時間才注意到關于球面的幾何學，這是因為與地球的大小相比，人類實在是過于渺小。即便在地面上畫一個大大的三角形，然後測量角度之和與 180° 幾無偏差，以緻于根本無法檢測到。

現在你可能會問：是否還存在一種幾何學，其中第五公設不成立，但其中三角形内角和小于 180°。

答案是，有的。這就是所謂的雙曲幾何。

雙曲幾何不像球面幾何一樣容易想象，因為它不能在三維歐氏空間中無扭曲地建立模型。在雙曲幾何中，如同在球面幾何裡，歐幾裡得的前四條公設成立，但第五公設不成立。但在雙曲幾何中，至少可以找到兩條相異的直線，且都通過 P 點，并不與 R 相交(如下圖所示)，因此它違反了平行公設。

▲ 通過 P 點且漸漸趨近 R（但不相交）的直線(圖自維基 @Vladimir0987)

想象雙曲幾何的一個方式是龐加萊半平面模型。這個模型和“真正的”雙曲空間之間的關系同平面地圖和我們的球形世界之間的關系相似。例如，如果你沿直線從倫敦坐飛機到聖弗蘭西斯科，然後在地圖上畫出你的路線，路線就不再是直線，因為地圖扭曲了直線。（在标準“麥卡托投影法”映射下，接近極點處的距離被大大扭曲）在龐加萊半平面模型中，雙曲平面被展平成一張歐幾裡得半平面。作為展平的一部分，雙曲平面中的許多直線在模型中變成彎曲的。雙曲平面中的直線在模型中變成垂直于半平面邊界的直線或圓心在半平面邊界上的圓。

▲ 雙曲幾何中的直線

随着越來越靠近半平面邊界，距離變得越來越大，以至于隻能靠近但永遠無法到達邊界。這樣三角形是三條“直線”相交所得，并且如果你實驗一下，你就會知道一個雙曲三角形的内角和嚴格小于 180°。

▲ 三角形的内角之和小于 180°

還有其他方式在平面上建立雙曲幾何模型。其中之一是在一個圓上表示雙曲平面，當你靠近圓周時，距離變得越來越大。下面埃舍爾的《圓極限 IV》(又稱天堂和地獄)1960 年 7 月完成的木刻版畫，作品表達了對于龐加萊所描述的雙曲空間的感受。

球面幾何和雙曲幾何都是彎曲幾何的例子，不像歐式幾何是平坦的。在球面幾何中，曲率是正的，在雙曲幾何中，曲率為負。

一個引起宇宙學家相當長時間興趣的問題是，我們生活的宇宙是否是平的，在這個意義上，一個三角形的角度加起來總是180°。看起來确實是這樣，但從曆史上我們知道，這不一定是種正确的解釋。愛因斯坦的相對論告訴我們重力會引起空間局部彎曲。在如恒星這樣的大質量物體周圍，空間被扭曲。這可以通過光束在靠近這些物體時發生彎曲觀察到。靠近黑洞的地方，扭曲如此之強以至于太靠近黑洞的光束被“吸進”其中無法逃脫。所以如果你想象用光束作為邊來畫三角形，除非你小心地選擇你的位置遠離大質量物體，否則無法保證内角和為 180°。

宇宙的形狀究竟怎樣？自1997年的毫米波段氣球觀天計畫開始的一連串宇宙微波背景輻射測量實驗，目前科學家的觀點是，事實上我們确實生活在一個平坦的宇宙中，或者說，如果有一個曲率，也是非常輕微的。

創作團隊

作者：DarkPhoenix 校對:公理

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