數量關系幾何模塊考查都逐漸增多,大小正方體構建的題目也時常出現。
題幹:有邊長為n厘米的正方體,現将它切割為邊長為1厘米的小正方體。(有的時候反過來,用小的堆砌大的)。
問題:一般情況下将大正方體表面塗上顔色,圍繞塗色的話題進行考查。
特征:此類題目接近現實生活,題意理解上沒有多大難度,考生第一眼感覺放棄十分可惜。但如果平時積累不夠,此類題目在考場上極容易做起來耗費時間且準确率不高。
要想快速做出此類題目,需要先熟練掌握以下幾個問題:
1.大正方體有多少塊小正方體構成?
2.大正方體單個面有多少塊小正方形?
3.大正方體表面有多少塊小正方形,涉及多少個小正方體?
4.三面塗色的小正方體有多少塊?
5.兩面塗色的小正方體有多少塊?
6.隻有一面被塗上色的小正方體有多少塊?
7.表面沒有被塗色的小正方體有多少塊?
為了方便講解這些問題,我們用一個大家非常熟悉的正方體為例,請看下圖:
問題一:從魔方中很容易看出,每層上單排5個小正方體,整個一層5×5=25個,魔方共計5層,可得整個魔方有25×5=125個小正方體。即n三次方個。
問題二:從圖中和問題一可得,單個面有25個小正方形,涉及25個小正方體。即n二次方個。
問題三:單個面有25個正方形,6個面一共150個正方形。但注意邊緣的小正方體同時屬于兩個面,頂點的小正方體同時屬于3個面。 此時有兩種方法考慮。
1:先看黃色面,有25個小正方體,上面兩個共計50個;再看藍色面,去除上下兩層(已被黃色面計算過了)還剩3×5=15個小正方體,兩層共計為30個;最後看紅色面,去除四周已經被計算過的,上下兩層被黃色面計算過,左右兩層被藍色面計算過了,剩餘3×3=9個,兩層共計為18個。2n二次方 n(n-2) (n-2)的二次方。
表面可以被塗色顔色的小正方體:50 30 18=98個。
2:采取逆向思維。從圖中可見,每行5個小正方體中的兩端會被塗上顔色,中間3個不會,所有不漏出來的正方體為3的三次方為27個,在表面的涉及的小正方體為125-27=98個。
n三次方減(n-2)的三次方
問題四:從問題三和圖中可得,三面塗色的小正方體隻有頂點的8塊。
問題五:從問題三和圖中可得,兩面塗色的小正方體是邊緣的小正方體,每條邊有3塊,12條邊共計36塊。即12(n-2)個。
問題六:從問題三和圖中可得,隻有一面塗色的小正方體都位于表層中間,每個面上這種小正方體有9個,整個魔方6個面共計54個。即6倍(n-2)的二次方個。
問題七:從問題三和圖中可得,整個魔方不漏出來的小正方體都屬于沒有塗色的,總計n3-(n-2)3個。
【真題演練】
1.1000個體積為1立方厘米的小正方體合在一起成為一個邊長為10厘米的大正方體,大正方體表面塗油漆後,再分開為原來的小正方體,這些小正方體至少有一面被油漆塗過的數目是多少個?
A.490 B.488
C.484 D.480
2.一個木制正方體在表面塗上顔色,将它的每條棱三等分,然後從等分點将正方體割開,得到27個小正方體,将這些小正方體充分混合後,裝入一個口袋,從這個口袋中随機取出兩個小正方體,其中一個正方體隻有一個面塗有顔色,另一個至少2個面塗有顔色的概率約為:
A.0.05 B.0.17
C.0.34 D.0.67
3.将一個8厘米×8厘米×1厘米的白色長方體木塊的外表面塗上黑色顔料,然後将其切成64個棱長1厘米的小正方體,再用這些小正方體堆成棱長4厘米的大正方體,且使黑色的面向外露的面積盡量大,問大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的?
A.84 B.88
C.92 D.96
4.若幹棱長為1cm的小正方體組成了一個棱長為8cm的大正方體,若此時将組成大正方體最外層的小正方體拿掉,然後将拿掉的小正方體所有面全部塗成黑色。若被塗黑的小正方體未從大正方體中拿掉,則被塗黑的面積将會減少多少?
A.1608 cm2 B.1392 cm2
C.428 cm2 D.128cm2
參考答案:BCBB
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