理想氣體狀态方程推導公式高中?2月18日12時，《張朝陽的物理課》第二十九期準時開播搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，探究玻爾茲曼分布，并以重力場和速度場為例進行講解通過建立空氣密度、重力、溫度、壓差之間的關系，推導得到空氣粒子數密度随重力勢能的分布；利用速度各分量的獨立性、各向同性、理想氣體狀态方程等，推導得到麥克斯韋速度分布律，體現粒子數密度随動能的分布兩者均符合玻爾茲曼分布這些也為解釋大氣中氫氣含量之低提供了一個物理的視角，下面我們就來說一說關于理想氣體狀态方程推導公式高中?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

理想氣體狀态方程推導公式高中

2月18日12時，《張朝陽的物理課》第二十九期準時開播。搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，探究玻爾茲曼分布，并以重力場和速度場為例進行講解。通過建立空氣密度、重力、溫度、壓差之間的關系，推導得到空氣粒子數密度随重力勢能的分布；利用速度各分量的獨立性、各向同性、理想氣體狀态方程等，推導得到麥克斯韋速度分布律，體現粒子數密度随動能的分布。兩者均符合玻爾茲曼分布。這些也為解釋大氣中氫氣含量之低提供了一個物理的視角。

“我們花了很長時間，研究量子力學和它的典型應用。先是氫原子能級，後來是雙原子分子。”張朝陽開場直奔主題，“今天要研究玻爾茲曼在重力場和速度場的分布。“

玻爾茲曼分布：高處空氣更稀薄？ 微分方程來建模

上節課，張朝陽利用玻爾茲曼分布，解釋溫度很低時自由度會被凍結，導緻能量均分定理失效，最終得出比熱容随溫度的階梯圖。同時，計算粒子平均振動能以及普朗克黑體輻射時，也都用到了玻爾茲曼分布，足見其重要性與普遍性。今天，他想通過兩個關于理想氣體分布的具體計算實例，來直觀呈現玻爾茲曼分布。

“先來看看簡單的例子。”張朝陽嘗試計算粒子質量為m，溫度為T的理想氣體，在重力加速度為g的重力場下，其數密度n随高度h的變化。

他介紹說，在高度為h的地方，取一個底面積為A，高度為dh的小層，則這層的體積為Adh，一共有nAdh個粒子，每個粒子受向下的重力mg，則這層氣體受到的向下的重力為mgnAdh。另外這層氣體還受到上下兩部分氣體的壓力，設上部分氣體的壓強為p dp，下部分氣體的壓強為p，那麼氣體受到向上的推力為Ap-A（p dp）=-Adp，它必須與向下的重力mgnAdh相等才可以讓這層氣體受力平衡：

另外，将理想氣體狀态方程p=nkT代入上式，然後消掉兩邊的A，并将右邊的n移到左邊後兩邊進行積分，最終得到氣體數密度關于高度的分布：

mgh正是氣體在重力場下的勢能。可見大氣中的粒子數密度符合玻爾茲曼分布。

麥克斯韋速度分布：各向同性定形式 總數和壓強做歸一

張朝陽還舉了另外一個例子。同樣也是理想氣體，但此氣體沒有重力場等外場勢能，隻研究其中粒子在溫度為T時的速度分布，該分布正是麥克斯韋速度分布。他邊列公式邊介紹，設一個微小的速度區内的粒子數密度為：

由于理想氣體中的粒子是各向同性的，所以粒子數密度的分布f與粒子速度的方向無關，隻與速度的大小有關。他在小白闆上寫下：

他解釋，“我們還知道，理想氣體中粒子之間無勢能，而關于它們的碰撞也可以分解為相互獨立的三個分量，所以粒子在三個方向上的速度分布是相互獨立的，于是又可以将f寫成如下形式。”

将上式等号兩邊取對數，可以将右邊乘法變成加法，然後求其關于速度x分量的偏導，可得：

同理，對速度y與z分量求偏導也得到上式等号左邊的量，結合起來就得到：

由于知道g函數隻與對應的速度分量有關，而速度分量之間又是彼此獨立的，那麼上式隻能等于一個與速度分量都無關的常數：

容易解得g函數：

将g函數帶回f的表達式，最終可以得到粒子數密度關于總速度的分布：

（利用粒子速度分布的各向同性與三個方向分量的獨立性推導麥克斯韋速度分布律）

“接下來，我們還需要計算積分常數A以及參數α。”他繼續推導，将所有速度區間的粒子數密度加起來，可以得到理想氣體的總粒子數密度n：

由此，可以計算得到A的具體表達式：

至于參數α，則需要使用理想氣體狀态方程p=nkT來處理，張朝陽利用粒子對zy平面的容器壁的碰撞來計算壓強p。将其它速度其它分量積分可以得到速度x分量的分布：

每個粒子碰撞容器壁後，x方向上的動量大小相等方向反向，改變量為原動量x分量的2倍大小。計算所有向x正方向碰撞容器壁産生的壓強：

為了繼續化簡，将總粒子數密度n表達為x方向上的積分：

将此表達式代入p=nkT中，化簡便可得到α的表達式：

将A與α代回f，最終得到麥克斯韋速度分布的表達式：

若進一步化為關于速度大小的表達式，則如下圖所示：

（張朝陽推導得到麥克斯韋速度分布）

氫氣在大氣中為何少？利用麥克斯韋速度分布律推導解釋

觀察麥克斯韋速度分布公式，注意到e指數上除kT之外就是粒子的動能，這說明此分布也滿足玻爾茲曼分布，張朝陽從物理學的角度，利用麥克斯韋速度分布解釋了氫氣為何在大氣中那麼少。

根據前面計算的粒子數密度關于高度的分布，由于氫氣分子質量相比空氣中其它分子的質量要小得多，所以其粒子數密度随高度衰減得沒那麼快，從而氫氣可以爬得更高，再根據麥克斯韋速度分布律公式，氫氣分子質量小還會導緻它在速度較大的情況下仍有可觀的分布，部分粒子的速度，可以超過第一宇宙速度甚至第二宇宙速度，從而逐漸逃逸，離開地球。這樣氫氣在大氣中的含量就非常少了。

當然，這隻是看待該問題的一個角度。實際上，從化學上講，氫較為活潑，容易形成水等許多化合物，從而以其它形式相對固定地存在于地球上，也減少了它以單質形式存在于大氣中的量。實際上，用原子質量較小但化學上更惰性的氦氣作為例子，可以更好地體現這一物理規律的影響。

可以看到，在本節課中的兩個例子都符合玻爾茲曼分布，其中一個e指數上的能量是粒子的勢能，而另一個則是粒子的動能，可見玻爾茲曼具有普适性，下節課将具體講解如何導出玻爾茲曼分布。直播結尾，張朝陽總結課程内容，“這是能量差和kT的戰争。”

打造知識直播平台：搜狐視頻發力價值直播 吸引諸多科普播主入駐

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播近三十期。張朝陽先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律與能量動量守恒；講解機械振動與波動方程并計算空氣中的聲速，順便讨論與此相關的理想氣體狀态方程和能量均分定理。爾後從經典物理的“兩朵烏雲”說起，向近現代物理過渡，包括由黑體輻射研究引出的維恩、瑞利-金斯、斯特潘、普朗克等系列公式；由電磁學和時空性質引發的相對論議題，如洛倫茲變換、尺縮鐘慢、質能關系、粒子衰變等。

此後逐步進入量子力學領域，從基礎的薛定谔方程、算符對易關系、不确定性原理等理論内容，到無限深勢阱、氫原子波函數、原子能級與簡并等基礎模型，再到諧振子量子化、分子振轉光譜、自由度的凍結、氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。内容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融，研究對象由小到大、由少到多，從單電子原子到多電子原子、多原子分子，再到由衆多粒子組成的宏觀物質，實際上已經逐漸進入到統計物理學領域。接下來的玻爾茲曼分布、麥克斯韋速度分布律等，也就順勢引入，順理成章。

從近三十期的物理課可以看出，《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟——通過觀察日常生活現象、用網友比價熟悉的話題來提升興趣，再以公式推導的方式解釋其背後的物理原理，“透過現象看本質”，進而反過來解決生活中的類似問題。

張朝陽認為研究自然界是特别有意思的事情，他希望物理課的受衆能保有好奇心，“在好奇心驅使下，了解自然界的奧秘，了解我們在這個世界生存的道理”。該課程于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播。同時，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看往期完整視頻回放。

除《張朝陽的物理課》外，搜狐視頻也邀請各專業領域頭部播主入駐，直播科普知識，傳遞價值。北京交通大學理學院教師陳征博士玩起了“奇趣的科學實驗”，走進“光的波粒二象性”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，教普通人看懂2021年諾貝爾獎；還有天體物理博士劉博洋科普“日全食是怎麼産生的”，理論物理博士後周思益也開通“弦論世界”直播課等。未來還将有更多知識播主入駐，一起互動玩轉科學。

文/金仁甫

編輯/範輝

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