真沒想到

高數比我還污

如果說高數中讓你一輩子忘不了的定理是夾逼定理，那麼最污的定理就肯定不是它了，它勉強能算上是老三。那麼老大和老二到底是誰呢？

今天超模君就帶大家來見識一下“老二”，至于老大嘛，大Boss總是最後登場的。那麼，現在請以熱烈的掌聲歡迎我們的“老二”——拉格朗日中值定理（也叫拉氏定理）！

什麼！拉格朗是誰？中值又是誰？

如果你有上述奇怪想法，那就不得了了，以後絕對能夠幹大事，不信你看：

• 數學分析下冊：拉格朗日乘數法

• 抽象代數：拉格朗日定理

• 數論：拉格朗日四平方和定理

• 數值分析：拉格朗日插值公式

• 力學：拉格朗日方程

• ……

好了，“老二”被黑得好慘，我們暫時放過他，進入正題，開始介紹一下這個定理。相信大家對拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736~1813）并不陌生，拉格朗日在數學、力學和天文學三個學科領域中都有劃時代意義的貢獻，拿破侖稱他為“數學科學高聳的金字塔”，是18世紀歐洲最偉大的數學家。

拉格朗日的沉默

但是拉格朗日中值定理是怎麼發現的呢？課本上似乎并沒有提及。現在的高數教材，一本比一本薄，内容越改越少，删去了很多趣味性的故事和幫助理解的圖片，隻因這些不出現在考試中。有一段話說得很好：

美國人寫教材：你看數學多簡單，我們聊着聊着就學會了。

中國人寫教材：定義xxx，可以推導出yyy，此外zzz是更加弱的結論，本書不予證明。

俄羅斯人寫教材：就你這智商還想學數學？趕緊轉文科吧！

古希臘時代，數學家阿基米德就利用了一個結論（拉格朗日中值定理的特殊情況）：過抛物線弓形的頂點的切線必平行于抛物線弓形的底，巧妙地計算出抛物弓形的面積。

後來，意大利卡瓦列裡在著作《不可分量幾何學》中給出一個有趣的引理：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。事實上，這不是别的，正好是拉格朗日中值定理的幾何意義，它還被稱為卡瓦列裡定理。

m為切線斜率

跑得太快了，隻好手動拖移

受前人的啟發，拉格朗日在《解析函數論》一書中提出拉格朗日中值定理的代數版本，但是證明并不嚴格。最終由大數學家柯西給出嚴格證明并推廣成為柯西中值定理，法國數學家博（O.Bonnet）也給出了現代形式的拉格朗日中值定理。

知道了“老二”的來源，我們可以來認識一下他的内在了。簡單而言，拉格朗日中值定理就是下圖：

注意橋上标語

這座橋大概是想告訴我們，如果一輛車從橋頭行駛到橋尾，用了時間T，那麼在時間T内一定有某一時刻，它的速度正好等于平均速度。

下面給出拉格朗日中值定理的完整形式：

在圖像上表示：

用通俗的語言解釋就是，在你的人生軌迹中，如果它是連續不間斷的，并且可到終點，那麼肯定在人生某個時刻，有一個人，Ta認定了，與你的人生位移同方向，陪你走完這一生。（

單身狗的福利定理）

這一定理有着廣泛的應用，第一是用來證明等式、不等式與恒等式。第二是證明有關中值問題的結論，第三是研究導數和函數的性質，第四是證明方程根的存在性和利用中值定理求極限。這些應用對于數學研究有重要的作用。

我們來舉一個簡單的栗子看看是怎麼千呼萬喚“老二”出來解題的。

方法一：由圖可知，顯然易得a>1。（作死法）

方法二：

其實，這是一道高考題，拉格朗日中值定理可是有一段“秒殺壓軸大題”的傳說

拉格朗日中值定理讓函數不再“囧”！

用拉格朗日中值定理破解高考數學函數與導數壓軸題！

洛必達法則，真能“下嫁”導數壓軸題！（洛必達也出來打醬油了）

四招高等數學，秒殺高考數學壓軸題！

當然，為了謹慎起見，模拟題中用來玩一下是可以的，高考中就不要亂用了，因為可能會被扣分。

最後，如果我們把三大中值定理（

羅爾、拉格朗日、柯西）彙合在一起，便成為一首浪漫的三角愛情詩。

我還是很喜歡你，就像拉格朗日羅爾街旁守望柯西的憂傷，若思想有界，愛已被迫收斂，感情在定義域内連續，我拿生命的定積分，去丈量我們感情的微積分，換來青春的不定積分。

本文系網易新聞·網易号“各有态度”特色内容

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