新學期開始已經兩個星期了，初一的小可愛們有沒有适應初中的學習節奏呢？

從有理數開始，大家就要開始一種嶄新的、跟小學完全不同的數學觀，豆姐整理了這一部分的知識點，希望可以在現階段幫助到大家！

正數和負數

知識點1 正數和負數的概念

(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數，叫做正數，在小學學過的數，除0以外都是正數，正數比0大。

(2) 像－3、－1.5、-1/2、－584等在正數前面加“－”(讀作負)号的數，叫做負數。負數比0小。

(3) 零即不是正數也不是負數，零是正數和負數的分界。

注意：

(1) 為了強調，正數前面有時也可以加上“＋”（讀作正）号，例如：3、1.5也可以寫作＋3、＋1.5。

(2) 對于正數和負數的概念，不能簡單理解為：帶“＋”号的數是正數，帶“－”号的數是負數。

例如：－a一定是負數嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數，若a表示的是正數，則－a是負數；若a表示的是0，則－a仍是0；當a表示負數時，－a就不是負數了（此時－a是正數）。

正數、負數表示

正數和負數是根據實際需要而産生的，随着社會的發展，小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數量，怎樣表示它們呢？

我們把一種意義的量規定為正的，把另一種和它意義相反的的量規定為負的，這樣就産生了正數和負數。

用正數和負數表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正，而把“後退、下降、支出、零下溫度”等規定為負。

有理數

知識點1 有理數的有關概念

有理數：整數和分數統稱為有理數。

注：(1)有時為了研究的需要，整數也可以看作是分母為1的數，這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。

(2)因為分數與有限小數和無限循環小數可以互化，上述小數都可以用分數來表示，所以我們把有限小數和無限循環小數都看作分數。

(3)“0”即不是正數，也不是負數，但“0”是整數。

整數包括正整數、零、負整數。例如：1、2、3、0、－1、－2、－3等等。

分數包括正分數和負分數，例如：1/2、0.6、－1/2、－0.6等等。

知識點2 有理數的分類

(1) 按整數、分數的關系分類：

(2) 按正數、負數與0的關系分類：

注：通常把正數和0統稱為非負數，負數和0統稱為非正數，正整數和0稱為非負整數（也叫做自然數），負整數和0統稱為非正整數。

如果用字母表示數，則a>0表明a是正數；a<0表明a是負數；a≥0表明a是非負數；a≤0表明a是非正數。

知識點3 數軸

數軸是理解有理數概念與運算的重要工具，數與表示數的圖形（如數軸）相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩雲：

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。

數缺形時少直覺，形少數是難入微。

數形結合百般好，隔裂分家萬事非。

切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！

數與形的第一次聯姻——數軸，使數與直線上的點之間建立了對應關系，揭示了數與形的内在聯系，并由此成為數形結合的基礎。

1.數軸的定義：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。

數軸的定義包含三層含義：

(1) 數軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；

(2) 數軸有三要素——原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；

(3) 原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的确定，都是根據實際需要“規定”的（通常取向右為正方向）。

2.數軸的畫法：

(1) 畫一條直線（一般畫成水平的直線）。

(2) 在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面标上“0”）。

(3) 确定正方向（一般規定向右為正），用箭頭表示出來。

(4) 選取适當的長度作為單位長度，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3……；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為－1，－2，－3……

注：

(1) 原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況适當選取；

(2) 确定單位長度時，根據實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，……；從原點向左，依次表示為－2，－4，－6，……；

3.數軸上的點與有理數的關系：

所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示，負有理數可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。

4.利用數軸比較有理數的大小：

在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0；負數都小于0；正數大于一切負數。

知識點4 相反數

1.相反數的定義

(1) 相反數的幾何定義：在數軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數。如，4與－4互為相反數。

(2) 相反數的代數定義：隻有符号不同的兩個數（除了符号不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數。

2.相反數的性質：

任何一個數都有相反數，而且隻有一個。正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數是0。

0是唯一一個相反數等于本身的數。反之，如果a=-a，那麼a一定是0.

3.相反數的特征：

若a與b互為相反數，則a b=0（或a=-b）

若a b=0（或a=-b），則a與b互為相反數。

4.求一個數的相反數的方法：（見書）

5.多重符号的化簡

(1) 在一個數的前面添上一個“＋”号，仍然與原數相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5。

(2) 在一個數的前面添上一個“－”号，就成為原數的相反數。如－（－3）就是－3的相反數，因此，－（－3）＝3。

知識點5 絕對值的概念

1.絕對值的幾何定義：一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離，數a的絕對值記作“丨a丨”

2.絕對值的代數定義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

知識點6 有理數大小的比較

正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而小。

利用數軸，在數軸右邊的數永遠大于左邊的數。

有理數的加減法

有理數的加法

把兩個有理數合成一個有理數的運算叫做有理數的加法。

相加的兩個有理數有以下幾種情況：

（1）兩數都是正數；

（2）兩數都是負數；

（3）兩數異号，即一個是正數，一個是負數；

（4）一個是正數，一個是0；

（5）一個是負數，一個是0；

（6）兩個都是0。

知識點2 有理數加法法則

（1）同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加。

（2）絕對值不相等的異号兩數相加，取絕對值較大的加數的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

（3）一個數同0相加，仍得這個數。

知識點3 有理數加法的運算定律

（1）加法交換律：a b=b a。

（2）加法結合律：(a b) c=a (b c)。

知識點4 有理數減法法則

減去一個數，等于加上這個數的相反數，即a-b=a (-b)。

知識點5 有理數的加減混合運算

1.有理數加減法統一成加法的意義

對于有理數的加減混合運算中的減法，可以根據有理數減法法則将減法轉化為加法。

這樣一來，就将原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以後的式子是幾個正數或負數的和的形式，有時，我們把這樣的式子叫做代數和。

2.有理數加減混合運算的方法

(1) 運用減法法則将有理數混合運算中的減法轉化為加法。

(2) 運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。

有理數的乘除法

知識點1 有理數乘法法則

兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘，都得0。

知識點2 倒數的概念

乘積是1的兩個數互為倒數。

由于a×1/a(a≠0) ，所以當a是不為0的有理數時，a的倒數是1/a。若a、b互為倒數，則ab＝1。

知識點3有理數乘法法則的推廣

（1）幾個不等于0的數相乘，積的符号由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正。

（2）幾個數相乘，隻要有一個因數為0，積就為0。

知識點4 有理數乘法的運算定律

（1）乘法交換律：ab=ba。

（2）乘法結合律：(ab)c=a(bc)。

（3）分配律：a(b c)=ab ac。

知識點5 有理數除法法則

(1) 除以一個數等于乘以這個數的倒數。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

(2) 兩數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得0。

知識點6 有理數的乘除混合運算

除轉乘，确定符号。

知識點7 有理數的四則混合運算

先乘除，後加減，如果有括号，就先算括号裡面的。同級運算中，要按照從左到右的順序。

有理數的乘方

知識點1 有理數乘方的意義

知識點2 有理數乘方運算的性質

正數的任何次幂都是正數；負數的奇次幂是負數，負數的偶次幂是正數。0的任何次幂都是0。

知識點3 有理數混合運算的運算順序

先算乘方，再算乘除，最後算加減，如果有括号，就先算括号裡面的。

知識點4 科學計數法

知識點5 研究近似數的意義

在生産實踐和實際生活中，不僅存在着大量的準确數，同時也存在着大量的近似數。近似數就是與實際接近的數。

出現近似數的原因有兩點：一是有時候不能得到完全準确的數，如太陽的半徑大約是696 000千米；二是有時也沒有必要弄得完全準确，如買10千克大米，有時可能多一點，有時也可能少一點。

知識點6 有效數字

四舍五入後的近似數，從左邊第一個不為0的數字起，到精确到的數位止，所有的數字，都叫做這個數的有效數字。

方法技巧1：在隻含有乘、除法的算式中，可以由“負”号的個數确定結果的符号。“負”号有奇數個時，結果為負；“負”号有偶數個時，結果為正。

方法技巧2：分數、小數乘除混合運算，通常把小數化為分數，帶分數化為假分數。當把乘除都化成乘積的形式時，應先确定積和符号。含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。在進行混合運算時，要注意兩點：一是運算順序，二是運算符号。

方法技巧3：靈活運用有理數的運算法則、運算律，适當地添加或去括号改變運算順序常可達到簡化運算的效果。湊整、分組、拆項、相消、分解相約、整體處理等是有理數運算常用的方法與技巧。

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