新學期開始已經兩個星期了,初一的小可愛們有沒有适應初中的學習節奏呢?
從有理數開始,大家就要開始一種嶄新的、跟小學完全不同的數學觀,豆姐整理了這一部分的知識點,希望可以在現階段幫助到大家!
正數和負數
知識點1 正數和負數的概念
(1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的數,叫做正數,在小學學過的數,除0以外都是正數,正數比0大。
(2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正數前面加“-”(讀作負)号的數,叫做負數。負數比0小。
(3) 零即不是正數也不是負數,零是正數和負數的分界。
注意:
(1) 為了強調,正數前面有時也可以加上“+”(讀作正)号,例如:3、1.5也可以寫作+3、+1.5。
(2) 對于正數和負數的概念,不能簡單理解為:帶“+”号的數是正數,帶“-”号的數是負數。
例如:-a一定是負數嗎?答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數,若a表示的是正數,則-a是負數;若a表示的是0,則-a仍是0;當a表示負數時,-a就不是負數了(此時-a是正數)。
正數、負數表示
正數和負數是根據實際需要而産生的,随着社會的發展,小學學過的自然數、分數和小數已不能滿足實際的需要,比如一些有相反意義的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它們不但意義相反,而且表示一定的數量,怎樣表示它們呢?
我們把一種意義的量規定為正的,把另一種和它意義相反的的量規定為負的,這樣就産生了正數和負數。
用正數和負數表示具有相反意義的量時,哪種意義為正,是可以任意選擇的,但習慣把“前進、上升、收入、零上溫度”等規定為正,而把“後退、下降、支出、零下溫度”等規定為負。
有理數
知識點1 有理數的有關概念
有理數:整數和分數統稱為有理數。
注:(1)有時為了研究的需要,整數也可以看作是分母為1的數,這時的分數包括整數。但是本講中的分數不包括分母是1的分數。
(2)因為分數與有限小數和無限循環小數可以互化,上述小數都可以用分數來表示,所以我們把有限小數和無限循環小數都看作分數。
(3)“0”即不是正數,也不是負數,但“0”是整數。
整數包括正整數、零、負整數。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。
分數包括正分數和負分數,例如:1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。
知識點2 有理數的分類
(1) 按整數、分數的關系分類:
(2) 按正數、負數與0的關系分類:
注:通常把正數和0統稱為非負數,負數和0統稱為非正數,正整數和0稱為非負整數(也叫做自然數),負整數和0統稱為非正整數。
如果用字母表示數,則a>0表明a是正數;a<0表明a是負數;a≥0表明a是非負數;a≤0表明a是非正數。
知識點3 數軸
數軸是理解有理數概念與運算的重要工具,數與表示數的圖形(如數軸)相結合的思想是學習數學的重要思想。正如華羅庚教授詩雲:
數與形,本是相倚依,焉能分作兩邊飛。
數缺形時少直覺,形少數是難入微。
數形結合百般好,隔裂分家萬事非。
切莫忘,幾何代數統一體,永遠聯系,切莫分離!
數與形的第一次聯姻——數軸,使數與直線上的點之間建立了對應關系,揭示了數與形的内在聯系,并由此成為數形結合的基礎。
1.數軸的定義:規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。
數軸的定義包含三層含義:
(1) 數軸是一條直線,可以向兩端無限延伸;
(2) 數軸有三要素——原點、正方向、單位長度,三者缺一不可;
(3) 原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的确定,都是根據實際需要“規定”的(通常取向右為正方向)。
2.數軸的畫法:
(1) 畫一條直線(一般畫成水平的直線)。
(2) 在直線上選取一點為原點,并用這點表示零(在原點下面标上“0”)。
(3) 确定正方向(一般規定向右為正),用箭頭表示出來。
(4) 選取适當的長度作為單位長度,從原點向右,每隔一個單位長度取一點,依次表示為1,2,3……;從原點向左,每隔一個單位長度取一點,依次表示為-1,-2,-3……
注:
(1) 原點的位置、單位長度的大小可根據實際情況适當選取;
(2) 确定單位長度時,根據實際情況,有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點,從原點向右,依次表示為2,4,6,……;從原點向左,依次表示為-2,-4,-6,……;
3.數軸上的點與有理數的關系:
所有的有理數都可以用數軸上的點表示。正有理數可以用原點右邊的點表示,負有理數可以用原點左邊的點表示,零用原點表示。
4.利用數軸比較有理數的大小:
在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大。正數都大于0;負數都小于0;正數大于一切負數。
知識點4 相反數
1.相反數的定義
(1) 相反數的幾何定義:在數軸上原點的兩旁,到原點距離相等的兩個點所表示的數,叫做互為相反數。如,4與-4互為相反數。
(2) 相反數的代數定義:隻有符号不同的兩個數(除了符号不同以外完全相同),我們說其中一個是另一個的相反數。
2.相反數的性質:
任何一個數都有相反數,而且隻有一個。正數的相反數是負數,負數的相反數是正數,0的相反數是0。
0是唯一一個相反數等于本身的數。反之,如果a=-a,那麼a一定是0.
3.相反數的特征:
若a與b互為相反數,則a b=0(或a=-b)
若a b=0(或a=-b),則a與b互為相反數。
4.求一個數的相反數的方法:(見書)
5.多重符号的化簡
(1) 在一個數的前面添上一個“+”号,仍然與原數相同,如+5=5,+(-5)=-5。
(2) 在一個數的前面添上一個“-”号,就成為原數的相反數。如-(-3)就是-3的相反數,因此,-(-3)=3。
知識點5 絕對值的概念
1.絕對值的幾何定義:一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離,數a的絕對值記作“丨a丨”
2.絕對值的代數定義:一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。
知識點6 有理數大小的比較
正數都大于0,負數都小于0,正數大于一切負數,兩個負數,絕對值大的反而小。
利用數軸,在數軸右邊的數永遠大于左邊的數。
有理數的加減法
有理數的加法
把兩個有理數合成一個有理數的運算叫做有理數的加法。
相加的兩個有理數有以下幾種情況:
(1)兩數都是正數;
(2)兩數都是負數;
(3)兩數異号,即一個是正數,一個是負數;
(4)一個是正數,一個是0;
(5)一個是負數,一個是0;
(6)兩個都是0。
知識點2 有理數加法法則
(1)同号兩數相加,取相同的符号,并把絕對值相加。
(2)絕對值不相等的異号兩數相加,取絕對值較大的加數的符号,并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。
(3)一個數同0相加,仍得這個數。
知識點3 有理數加法的運算定律
(1)加法交換律:a b=b a。
(2)加法結合律:(a b) c=a (b c)。
知識點4 有理數減法法則
減去一個數,等于加上這個數的相反數,即a-b=a (-b)。
知識點5 有理數的加減混合運算
1.有理數加減法統一成加法的意義
對于有理數的加減混合運算中的減法,可以根據有理數減法法則将減法轉化為加法。
這樣一來,就将原來的混合運算統一為加法運算。統一成加法以後的式子是幾個正數或負數的和的形式,有時,我們把這樣的式子叫做代數和。
2.有理數加減混合運算的方法
(1) 運用減法法則将有理數混合運算中的減法轉化為加法。
(2) 運用加法法則、加法交換律、加法結合律簡便運算。
有理數的乘除法
知識點1 有理數乘法法則
兩數相乘,同号得正,異号得負,并把絕對值相乘。任何數同0相乘,都得0。
知識點2 倒數的概念
乘積是1的兩個數互為倒數。
由于a×1/a(a≠0) ,所以當a是不為0的有理數時,a的倒數是1/a。若a、b互為倒數,則ab=1。
知識點3有理數乘法法則的推廣
(1)幾個不等于0的數相乘,積的符号由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時,積為負;當負因數有偶數個時,積為正。
(2)幾個數相乘,隻要有一個因數為0,積就為0。
知識點4 有理數乘法的運算定律
(1)乘法交換律:ab=ba。
(2)乘法結合律:(ab)c=a(bc)。
(3)分配律:a(b c)=ab ac。
知識點5 有理數除法法則
(1) 除以一個數等于乘以這個數的倒數。即a÷b=a×1/b(b≠0)。
(2) 兩數相除,同号得正,異号得負,并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數,都得0。
知識點6 有理數的乘除混合運算
除轉乘,确定符号。
知識點7 有理數的四則混合運算
先乘除,後加減,如果有括号,就先算括号裡面的。同級運算中,要按照從左到右的順序。
有理數的乘方
知識點1 有理數乘方的意義
知識點2 有理數乘方運算的性質
正數的任何次幂都是正數;負數的奇次幂是負數,負數的偶次幂是正數。0的任何次幂都是0。
知識點3 有理數混合運算的運算順序
先算乘方,再算乘除,最後算加減,如果有括号,就先算括号裡面的。
知識點4 科學計數法
知識點5 研究近似數的意義
在生産實踐和實際生活中,不僅存在着大量的準确數,同時也存在着大量的近似數。近似數就是與實際接近的數。
出現近似數的原因有兩點:一是有時候不能得到完全準确的數,如太陽的半徑大約是696 000千米;二是有時也沒有必要弄得完全準确,如買10千克大米,有時可能多一點,有時也可能少一點。
知識點6 有效數字
四舍五入後的近似數,從左邊第一個不為0的數字起,到精确到的數位止,所有的數字,都叫做這個數的有效數字。
方法技巧1:在隻含有乘、除法的算式中,可以由“負”号的個數确定結果的符号。“負”号有奇數個時,結果為負;“負”号有偶數個時,結果為正。
方法技巧2:分數、小數乘除混合運算,通常把小數化為分數,帶分數化為假分數。當把乘除都化成乘積的形式時,應先确定積和符号。含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内。在進行混合運算時,要注意兩點:一是運算順序,二是運算符号。
方法技巧3:靈活運用有理數的運算法則、運算律,适當地添加或去括号改變運算順序常可達到簡化運算的效果。湊整、分組、拆項、相消、分解相約、整體處理等是有理數運算常用的方法與技巧。
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