斜面上物體的運動

1.物體沿斜面勻速下滑的條件

如圖1，一物體放在傾角為θ的斜面上剛好能勻速下滑，試求斜面的斜面與物體間的動摩擦因數。

受力分析如圖2所示，由平衡條件可得:

f-mgsinθ＝0

N-mgcosθ＝0

f＝μN

由上面三式可得:μ＝tanθ

2.物體能沿斜面勻速下滑時與物體的質量無關

如果把一個材料與“1”中所說相同的但質量更大的M放在上面所說的斜面上，物體M還能勻速下滑嗎？

如圖3對M進行受力分析，在垂直于斜面方向上

N＝mgcosθ

由滑動摩擦定律可知:

f＝μN＝μmgcosθ ＝mgtancosθ＝mgsinθ

它正好等于重力沿斜面向下的摩擦力。這說明物體M恰好能沿斜面勻速運動。

同時，上面的讨論說明了這樣一個問題:如果一個物體恰好可以在斜面上勻速下滑，那麼增大物體的質量後物體照樣可以恰好在斜面上勻速下滑物體能沿斜面下滑是與物體的質量無關的。

3.給原來勻速下滑的物體施加一個豎直向下的力，物體仍能勻速下滑.

如圖5

所示，給原來勻速下滑的物體施加一豎直向下和力F，讨論物體的運動情況。如圖6對物體進行受力分析，在垂直斜面方向上，由平衡條件可得:

N＝（mg ＋F）cos θ

由滑動摩擦定律可知:

f＝uN＝（mg ＋F）tan cosθ＝（mg ＋F）sin θ

它恰好等于重力和力F沿斜面向下的分力的合力，因此物體恰能沿斜面勻速下滑。

4.增加物體的質量和對物體施加一個豎直向下的力都不改變物體的運動狀态

下面的三道習題可以有一個統一的解法:

（1）如圖7

所示，已知斜面傾角為θ，給物體一個沿斜面向下的初速度，物體恰好可以沿斜面勻速下滑。試求斜面與物體間的動摩擦因數。

（2）如圖4右側圖所示，已知斜面傾角為θ，一物體上壓另一物體，給這個整體一個沿斜面向下的初速度，整體恰好可以沿斜面勻速下滑。試求斜面與物體間的動摩擦因數。

（3）如圖5所示，已知斜面傾角為θ，給物體施加一個豎下向下的恒力F，物體恰好可以沿斜面勻速下滑。試求物體與斜面間的動摩擦因數。

如圖8

建立直角坐标系，由平衡條件可知，在x軸方向上:

fcosθ-Nsinθ＝0

即:f/N=sinθ/cosθ=tanθ

由滑動摩擦定律可知:

μ＝f/N＝tanθ

上面的解法隻用到了水平方向的平衡方程和滑動摩擦定律，沒有涉及豎直方向的力。雖然N與f在題中都是未知量，對于這三道題來說N與f的大小也不相同，但它們的比值總是相同的。這也是在這三種情況下動摩擦因數與物體質量以及豎直向下施加的力F無關的理由。

5.在非平衡态中增物體的質量和對物體施加豎直向下的力将不再等價

從上面的讨論中可以看到，當物體沿斜面勻速下滑時，給物體增加質量和施加向下的力在效果上是一樣的，物體仍能沿斜面向下做勻速直線運動。這很容易産生一個錯誤的想法，在任何情況下，增加質量與添加豎直向下的力都是等價的。但事實并不是這樣，看下面的兩個題目。

（4）一物體放在斜面上，将以沿斜面向下的加速度a做勻加速直線運動。現在在這個物體上再輕放一個重物。試判斷物體的加速度将怎樣變化。

（5）一物體放在斜面上，将以沿斜面向下的加速度a做勻加速直線運動。現在在這個物體上再施加一個豎直向下的力F。試判斷物體的加速度将怎樣變化。

【解】:（4）如圖3對物體進行受力分析，由牛頓第二定律可知:

mgsinθ-f＝ma

N-mgcosθ＝0

由滑動摩擦定律可知:

f＝μN

由上面三式可得:

a＝g（sinθ-μcosθ）

這個結果說明物體向下滑動時的加速度與質量無關。因此增加物體的質量時，物體的加速度不發生變化。

（5）如圖6對物體進行受力分析，由牛頓第二定律可得:

（mg ＋F）sinθ-f ＝ma

N-（mg ＋F）cosθ＝0

由滑動摩擦定律可知:

f＝μN

由上面三式可得:

a＝（g＋F/m）（sinθ-μcosθ）

這說明物體的加速度與豎直向下施加的力F有關，而且可以看到，添加力F後物體的加速度将增大。

通過上面兩個習題的比較，我們發現，當物體加速下滑時，給物體增加質量和給物體施加豎直向下的力将不再等價。

通過綜合方程我們可以更清楚的看到這一點:

（m＋△m）gsinθ-μ（m＋△m）gcosθ＝（m＋△m）a

這個方程式左右兩邊有公因式m＋△m，因此△m等于0與否（即增加不增加質量）不改變物體的加速度。物體平衡與不平衡都不這個特點。

（mg ＋F）sinθ-μ（mg ＋F）cosθ＝ma

當a＝0時，可以看到添加力F，不改變物體的平衡狀态。

當a≠0時，添加力F，等于改變了等式的左邊，同時右邊的m不變，所以加速度a必然發生變化。

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